2013年高考数学总复习第三章第4课时简单的三角恒等变换课时闯关（含解析）新人教版一、选择题1．(2012·东营调研)已知α是锐角，且sin(＋α)＝，则sin(＋π)的值等于()A.B．－C.D．－解析：选B.由sin(＋α)＝，得cosα＝，又α为锐角．∴sin(＋π)＝－sin＝－＝－＝－＝－.2．已知tanα＝，则等于()A．3B．6C．12D.解析：选A.＝＝2＋2tanα＝3.故选A.3．若tanα＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为()A．－B.C.D.解析：选A.由tanα＋＝⇒(tanα－3)(3tanα－1)＝0，得tanα＝3或tanα＝，由α∈(，)得tanα>1，故tanα＝舍去，而sin(2α＋)＝×＝×，将分式的分子与分母同除以cos2α得：sin(2α＋)＝×＝－.4．tan70°·cos10°(tan20°－1)等于()A．1B．2C．－1D．－2解析：选C.tan70°·cos10°(tan20°－1)＝·cos10°(·－1)＝·＝＝＝－1.5．已知sin(＋α)＝，则cos(－2α)的值等于()A.B.C．－D．－解析：选C.由已知－2α＝π－2(＋α)，则cos(－2α)＝cos[π－2(＋α)]＝－cos2(＋α)＝2sin2(＋α)－1＝2×()2－1＝－，故选C.二、填空题6．(2010·高考大纲全国卷Ⅰ)已知α为第二象限的角，sinα＝，则tan2α＝________.解析：由于α是第二象限的角，且sinα＝，∴cosα＝－.∴tanα＝－，∴tan2α＝＝＝－＝－.答案：－7．在△ABC中，tanA＝－2，tanB＝，则C＝________.解析：∵tanA＝－2，tanB＝，∴tan(A＋B)＝＝＝＝－1.∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝π.∴C＝π－π＝.答案：8．若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.解析：∵＝＝3，∴tanα＝2.又tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－＝.答案：三、解答题9．(2011·高考广东卷)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.(1)求f(0)的值；(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求sin(α＋β)的值．解：(1)f(0)＝2sin＝－2sin＝－1.(2)由题意知，α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，即2sinα＝，2cosβ＝，∴sinα＝，cosα＝；cosβ＝，sinβ＝.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.110.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B两点的横坐标分别为、.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝，cosβ＝.因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝＝，同理可得sinβ＝.因此tanα＝7，tanβ＝.所以tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.又0＜α＜，0＜β＜，故0＜α＋2β＜，从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝.11．(探究选做)已知向量a＝(1－tanx,1)，b＝(1＋sin2x＋cos2x,0)，记f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的解析式并指出它的定义域；(2)若f(α＋)＝，且α∈(0，)，求f(α)．解：(1)f(x)＝a·b＝(1－tanx,1)·(1＋sin2x＋cos2x,0)＝(1－tanx)(1＋sin2x＋cos2x)＝(1－)(1＋cos2x＋sin2x)＝(2cos2x＋2sinxcosx)＝2(cosx－sinx)(cosx＋sinx)＝2(cos2x－sin2x)＝2cos2x，由cosx≠0，得x≠kπ＋，k∈Z，所以f(x)＝2cos2x，其定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．(2)若f(α＋)＝，则2cos(2α＋)＝，即cos(2α＋)＝.又因为α∈(0，)，所以<2α＋<.又由cos(2α＋)>0，得<2α＋<.所以sin(2α＋)＝＝＝.所以f(α)＝2cos2α＝2cos[(2α＋)－]＝2cos(2α＋)cos＋2sin(2α＋)sin＝2××＋2××＝＋＝.2
