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函数对称性和周期性的几个重要结论作者:古丽尼沙汗•卡司木来源:《外语学法教法研究》2015年第13期【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】2095-3089(2015)15-00-03函数的对称性和周期性是函数重要的两大性质,而函数的性质是高中数学函数部分的一个重点内容。历年高考和竞赛题重点考察内容之一也是函数的定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、对称性、周期性、图像、极值和最值等性质。函数的对称性和周期性不仅广泛存在于数学问题之中,在我们的日常生活中也能经常遇见,而且利用对称性和周期性往往能更简捷地使问题得到解决,对称性和周期性关系还充分体现数学之美。本文就函数的对称性和周期性之间的关系加以探讨。一、函数的对称性(一)函数对称性的定义函数的对称有自对称和互对称。自对称是指同一个函数图像的对称(中心对称或轴对称),图像是其本身;互对称是指两个函数图像上的点一一对应,且对应点相互对称(中心对称或轴对称)。函数对称还有轴对称和点对称。(二)函数自对称的相关结论结论1:函数的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是。上述关系式也可以写成或。简证:设点在上,即,通过可知,,所以,所以点也在上,而点与关于点对称。得证。特别地:函数的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0。即:a=b=0推论1:如果函数满足,则函数的图象关于点对称推论2:若,即:,则的图像关于点对称。推论3:若,则的图像关于点对称。(注:当a=b=c=0时,函数为奇函数。)证明:在函数上任取一点,则。点关于点(,)的对称点为(,c-),当时,,即点(,c-)在函数的图象上。由于点为函数图象上的任意一点可知,函数的图象关于点(,)对称。结论2:函数的图像关于直线x=a对称的充要条件是或或。(即:可以改写成或。)特别地:函数的图像关于『轴(x=0)对称的充要条件是f(x)=f(-x)。即:a=0。推论:函数满足的充要条件是的图象关于直线对称。(注:当a=b=0时,该函数为偶函数。)注:假设函数关于对称,即关于任一个值,都有两个y值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于对称。比如:圆它会关于y=0对称。(三)函数互对称的相关结论结论1•函数与关于x轴对称。换种说法:与若满足,则它们关于对称。结论2•函数与关于y轴对称。换种说法:函数与若满足,则它们关于对称。结论3•函数与的图像关于直线x=y成轴对称图形。结论4•函数与的图像关于直线x=a成轴对称。换种说法:函数与若满足,则它们关于对称。结论5•函数与关于直线对称。换种说法:与若满足,则它们关于对称。结论6•函数的图象与的图象关于直线对称。证明:在函数上任取一点,则,点关于直线对称点(,)。由于,故点(,)在函数上。由点是函数图象上任一点,因此与关于直线对称。结论7•函数与函数的图像关于直线对称。结论8.函数与关于直线对称。结论9•函数与的图象关于点对称。换种说法,函数与若满足,则函数它们关于点对称.结论10•函数与的图象关于点对称。换种说法,函数与若满足,则它们关于点对称.结论11.函数与函数的图像关于点对称。换种说法,函数与函数若满足,则它们的图像关于点对称。结论12•函数与的图像关于点A(a,b)成中心对称。换种说法:与若满足,则它们关于点(a,b)对称。下面的几个结论用解析几何中的对称曲线轨迹方程来理解:结论13.曲线与曲线关于直线对称。结论14.曲线与曲线关于直线对称。结论15.曲线与曲线关于直线对称。结论16.曲线与曲线关于点对称。二、函数的周期性(一)周期性:对于函数,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有成立,那么就把函数叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。(二)周期性的相关结论结论1:对于非零常数T,若函数,则函数必有一个周期为2T。证明:・:函数的一个周期为2T。结论2:对于非零常数T,若函数,则函数必有一个周期为2T。结论3:对于非零常数T,若函数满足,则函数必有一个周期为2T。结论4:对于非零常数T,若函数满足或,则函数的一个周期为2T。结论:5:若函...

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