函数对称性和周期性的几个重要结论VIP免费

函数对称性和周期性的几个重要结论作者：古丽尼沙汗•卡司木来源：《外语学法教法研究》2015年第13期【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】2095-3089(2015)15-00-03函数的对称性和周期性是函数重要的两大性质，而函数的性质是高中数学函数部分的一个重点内容。历年高考和竞赛题重点考察内容之一也是函数的定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、对称性、周期性、图像、极值和最值等性质。函数的对称性和周期性不仅广泛存在于数学问题之中，在我们的日常生活中也能经常遇见，而且利用对称性和周期性往往能更简捷地使问题得到解决，对称性和周期性关系还充分体现数学之美。本文就函数的对称性和周期性之间的关系加以探讨。一、函数的对称性(一)函数对称性的定义函数的对称有自对称和互对称。自对称是指同一个函数图像的对称(中心对称或轴对称)，图像是其本身；互对称是指两个函数图像上的点一一对应，且对应点相互对称(中心对称或轴对称)。函数对称还有轴对称和点对称。(二)函数自对称的相关结论结论1：函数的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是。上述关系式也可以写成或。简证：设点在上,即,通过可知,,所以,所以点也在上,而点与关于点对称。得证。特别地：函数的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0。即：a=b=0推论1：如果函数满足,则函数的图象关于点对称推论2：若,即：,则的图像关于点对称。推论3：若，则的图像关于点对称。(注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。)证明：在函数上任取一点,则。点关于点(,)的对称点为(,c-),当时,,即点(,c-)在函数的图象上。由于点为函数图象上的任意一点可知，函数的图象关于点(，)对称。结论2：函数的图像关于直线x=a对称的充要条件是或或。（即：可以改写成或。）特别地：函数的图像关于『轴（x=0）对称的充要条件是f（x）=f（-x）。即：a=0。推论：函数满足的充要条件是的图象关于直线对称。（注：当a=b=0时，该函数为偶函数。）注：假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c（x，y）=0，则有可能会出现关于对称。比如：圆它会关于y=0对称。（三）函数互对称的相关结论结论1•函数与关于x轴对称。换种说法：与若满足，则它们关于对称。结论2•函数与关于y轴对称。换种说法：函数与若满足，则它们关于对称。结论3•函数与的图像关于直线x=y成轴对称图形。结论4•函数与的图像关于直线x=a成轴对称。换种说法：函数与若满足，则它们关于对称。结论5•函数与关于直线对称。换种说法：与若满足，则它们关于对称。结论6•函数的图象与的图象关于直线对称。证明：在函数上任取一点，则，点关于直线对称点（，）。由于，故点（，）在函数上。由点是函数图象上任一点，因此与关于直线对称。结论7•函数与函数的图像关于直线对称。结论8.函数与关于直线对称。结论9•函数与的图象关于点对称。换种说法，函数与若满足，则函数它们关于点对称.结论10•函数与的图象关于点对称。换种说法，函数与若满足，则它们关于点对称.结论11.函数与函数的图像关于点对称。换种说法，函数与函数若满足，则它们的图像关于点对称。结论12•函数与的图像关于点A（a,b）成中心对称。换种说法：与若满足，则它们关于点（a,b）对称。下面的几个结论用解析几何中的对称曲线轨迹方程来理解：结论13.曲线与曲线关于直线对称。结论14.曲线与曲线关于直线对称。结论15.曲线与曲线关于直线对称。结论16.曲线与曲线关于点对称。二、函数的周期性（一）周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。（二）周期性的相关结论结论1：对于非零常数T,若函数，则函数必有一个周期为2T。证明：・：函数的一个周期为2T。结论2：对于非零常数T,若函数，则函数必有一个周期为2T。结论3：对于非零常数T,若函数满足，则函数必有一个周期为2T。结论4：对于非零常数T,若函数满足或，则函数的一个周期为2T。结论：5：若函...