第13练数列的通项与求和【文】一.题型考点对对练1．（数列的求和）【2018届天津市期中】已知是等差数列的前项和，，设为数列的前项和，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，,选C.2.（数列与不等式）已知为数列的前项和，若恒成立，则整数的最小值为（）A.1026B.1025C.1024D.1023【答案】C3.（数列的通项公式）【2018届江苏省常州期中】已知数列中，，对都有成立，则的值为________.【答案】【解析】根据题意，，则，则，，由此分析可得，则故答案为．4.（数列的通项公式与性质）已知数列中,,,若为递增数列,则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由，得，即，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，即，所以．因为数列为递增数列，所以，即，即恒成立．因为，所以，解得．5.（数列的通项与奇偶分离求和）已知各项均不相等的等差数列满足，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．6.（裂项相消求和）已知等差数列的前项和为，，．（1）求；（2）设数列的前项和为，证明：．【解析】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）.二.易错问题纠错练7．（已知求，忽略至错）【2018届福建省闽侯期中】已知等差数列的前项和为，且，，数列的前项和.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.（2）令，当时，；当时，，∴∴，而满足上式，故【注意问题】忽略对的讨论，导至通项公式求错8.（裂项相消不当导致求和出错）【2018届甘肃省天水期中】若，满足，，则的前10项和为()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，则，所以，故选B.【注意问题】先需要通过表达式求出，再研究求和通项，会发现可以裂项.9.（不等式关系使用不当至错）已知各项都为整数的数列中，，且对任意的，满足，，则__________．【答案】【注意问题】由两个不等式关系得出夹在，之间，从而.10.（错误相减法求和不当至错）已知数列的前项和.是公差不为0的等差数列，其前三项和为3，且是的等比中项.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，所以当时，，解得，当时，，，得，即，所以，由数列的前三项和为3，得，所以，设数列的公差为，则，又因为，所以，解得或（舍去），所以；（2）由（1），可知，，从而，令，即，③×2，得，④③-④，得，即，故题设不等式可化为，（*）当时，不等式（*）可化为，解得；当时，不等式（*）可化为，此时；当时，不等式（*）可化为，因为数列是递增数列，所以，综上，的取值范围是.【注意问题】错误相减法求和时要正确处理好项数．三.新题好题好好练11.【2018届福建省福清期中联考】已知公差不为零的等差数列的首项,成等比数列，则使的前项和取得最小值的的值为（）A.16B.17C.18D.19【答案】B12.已知数列的前项和为，若函数在最大值为，且满足，则数列的前2017项之积__________．【答案】2【解析】函数最大值为,由,有,所以,故数列是周期为3的数列,且,则数列的前2017项之积.13.【2018届河南省豫北豫南名校联考】在数列中，，，且（），则的值是__________．【答案】【解析】由得，即数列是等差数列，由，可得，当时，，当时，，设数列的前项和为，，故答案为.14.已知正项数列满足，且．（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．（2）由（1）知，∴.15．在数列和中，，的前项和满足，，的前项和为．（1）求数列的通项公式以及；（2）若，，成等差数列，求实数的值．（2）由（1）可得：，，，又因为成等差数列，所以，解得：.16.已知等比数列的公比，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，对任意正整数不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（Ⅰ）设数列的公比为，则，∴∵，∴，∴数列的通项公式为．（Ⅱ）解：，∴∴∴=，∴对任意正整数恒成立，设，易知单调递增．为奇数时，的最小值为，∴得，为偶数时，的最小值为，∴，综上，，即实数的取值范围是．
