专题一函数与导数、不等式第1讲函数图象与性质及函数与方程练习一、选择题1.(2016·临沂模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(－1，1)上单调递减的函数是()A.f(x)＝sinxB.f(x)＝2cosx＋1C.f(x)＝2x－1D.f(x)＝ln解析由函数f(x)为奇函数排除B、C，又f(x)＝sinx在(－1，1)上单调递增，排除A，故选D.答案D2.(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A.奇函数，且在(0，1)上是增函数B.奇函数，且在(0，1)上是减函数C.偶函数，且在(0，1)上是增函数D.偶函数，且在(0，1)上是减函数解析易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln＝ln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，1)上是增函数，故选A.答案A3.已知二次函数f(x)＝x2－bx＋a的部分图象如图所示，则函数g(x)＝ex＋f′(x)的零点所在的区间是()A.(－1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)解析由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，即g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，故选B.答案B4.(2016·西安八校联考)函数y＝的图象大致是()解析由3x－1≠0得x≠0，∴函数y＝的定义域为{x|x≠0}，可排除A；当x＝－1时，y＝＝＞0，可排除B；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，但从D中函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除D.故选C.答案C5.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()解析当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tanx，在Rt△PAB中，|PA|＝＝，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝＋tanx，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；当点P与点C重合，即x＝时，由以上得f＝＋tan＝＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f＜f，故又可排除D.综上，选B.答案B二、填空题6.(2016·浙江卷)已知a＞b＞1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.解析设logba＝t，则t＞1，因为t＋＝，解得t＝2，所以a＝b2，因此ab＝(b2)b＝b2b＝ba，∴a＝2b，b2＝2b，又b＞1，解得b＝2，a＝4.答案427.已知函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数.若直线y＝k(x＋1)(k＞0)与函数y＝f(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是________.解析根据[x]表示的意义可知，当0≤x＜1时，f(x)＝x，当1≤x＜2时，f(x)＝x－1，当2≤x＜3时，f(x)＝x－2，以此类推，当k≤x＜k＋1时，f(x)＝x－k，k∈Z，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1，作出函数f(x)的图象如图，直线y＝k(x＋1)过点(－1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k∈.答案8.(2016·海淀二模)设函数f(x)＝(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.解析(1)当a＝1时，f(x)＝当x<1时，f(x)＝2x－1∈(－1，1)，当x≥1时，f(x)＝4(x2－3x＋2)＝4≥－1，∴f(x)min＝－1.(2)由于f(x)恰有2个零点，分两种情况讨论：当f(x)＝2x－a，x<1没有零点时，a≥2或a≤0.当a≥2时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时，有2个零点；当a≤0时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时无零点.因此a≥2满足题意.当f(x)＝2x－a，x<1有一个零点时，0
