星期二(概率、统计与立体几何)2017年____月____日1.概率、统计(命题意图：考查频率分布直方图的应用及古典概型)(本小题满分12分)某地区为了落实国务院《关于加快高速宽带网络建设，推进网络提速降费的指导意见》，对宽带网络进行了全面的光纤改造，为了调试改造后的网速，对新改造的1000户用户进行了测试，随机抽取了若干户的网速，网速全部介于13M与18M之间，将网速按如下方式分成五组：第一组[13，14)；第二组[14，15)；……；第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.(1)请利用上述测试估计这批新改造的1000户用户中网速在[16，17)内的户数；(2)求测试中随机抽取了多少个用户；(3)若从第一、五组中随机取出两户网速，求这两户网速的差的绝对值大于1M的概率.解(1)网速在[16，17)内的频率为0.32×1＝0.32，0.32×1000＝320，∴估计这批新改造的1000户中网速在[16，17)内的户数为320户.(2)设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x，依题意，得3x＋8x＋19x＋0.32×1＋0.08×1＝1，∴x＝0.02，设调查中随机抽取了n个用户，则8×0.02＝，∴n＝50，∴测试中随机抽取了50个用户.(3)网速在第一组的用户数有3×0.02×1×50＝3，记为a，b，c，网速在第五组的用户数有0.08×1×50＝4，记为m，n，p，q则从第一、五组中随机取出两户的基本事件有{a，b}，{a，c}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，c}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共21个.其中满足两户网速的差的绝对值大于1M的所包含的基本事件有{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，共12个.所以P＝＝.2.立体几何(命题意图：考查以三棱柱为载体的线面垂直关系的证明及体积求解)(本小题满分12分)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中点，F是CC1上一点，且CF＝2a.(1)求证：B1F⊥平面ADF；(2)若四面体AB1DF的体积为，求a的值和三棱柱ABC－A1B1C1的表面积.(1)证明因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.又平面CC1B1B⊥平面ABC，所以AD⊥平面CC1B1B又B1F⊂平面CC1B1B，所以AD⊥B1F，在Rt△B1C1F中，tan∠C1B1F＝，在Rt△DCF中，tan∠CFD＝，所以∠C1B1F＝∠CFD，∠C1FB1＋∠CFD＝－∠C1B1F＋∠CFD＝，∠B1FD＝π－(∠C1FB1＋∠CFD)＝，即FD⊥B1F，又AD∩FD＝D，所以B1F⊥平面ADF.(2)解∵AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，∴AD＝2a，B1F＝DF＝a，∴V四面体AB1DF＝S△B1DF·AD＝a·a·2a＝a3＝，∴a＝1，故三棱柱ABC－A1B1C1的表面积为S＝(3a＋3a＋2a)·3a＋2··2a·2a＝24＋4.
