专题四立体几何第2讲空间中的平行与垂直的证明问题训练文一、选择题1.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n解析由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又 n⊥β，∴n⊥l，C正确.故选C.答案C2.(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.答案A3.若a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的为()A.若a∥α，b∥α，则a∥bB.若α∥a，β∥a，则α∥βC.若a⊥α，b⊥α，则a∥bD.若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ解析对于A，空间中平行于同一个平面的两直线可能异面、相交或平行，故A错误；对于B，空间中平行于同一条直线的两面平行或相交，故B错误.对于C，空间中垂直于同一个平面的两条直线平行，故C正确；对于D，空间中垂直于同一个平面的两平面相交或平行，故D错误.答案C4.已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件：①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β；②存在一条直线a，a⊂α，a⊥β；③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α.其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是()A.①B.②C.③D.①③解析对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也成立，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B、C.对于③，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90°，因为a⊥β，b⊥α，所以α，β所成的角为90°，即α⊥β，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A，选D.答案D5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析 在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故选D.答案D二、填空题6.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点.有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号).解析①错误，PA⊂平面MOB；②正确；③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；④正确，因为BC⊥平面PAC.答案②④7.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AC∩EF＝G，现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体P－AEF中必有________(填序号).①AP⊥△PEF所在平面；②AG⊥△PEF所在平面；③EP⊥△AEF所在平面；④PG⊥△AEF所在平面.解析在折叠过程中，AB⊥BE，AD⊥DF保持不变.∴⇒AP⊥面PEF.答案①8.(2016·东北三校联考)点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，AC＝2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为________.解析如图所示，O为球的球心，由AB＝BC＝，AC＝2可知∠ABC＝，即△ABC所在的小圆的圆心O1为AC的中点，故AO1＝1，S△ABC＝1，当D为O1O的延长线与球面的交点时，D到平面ABC的距离最大，四面体ABCD的体积最大.连接OA，设球的半径为R，则DO1＝R＋，此时VD－ABC＝×S△ABC×DO1＝(R＋)＝，解得R＝，故这个球的表面积为4π＝.答案三、解答题9.(2016·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由.(1)证明 PC⊥平面ABCD，DC⊂平面AB...
