专题五解析几何第2讲直线与圆锥曲线的位置关系训练文一、选择题1.(2014·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若FP＝4FQ，则|QF|等于()A.B.C.3D.2解析过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为FP＝4FQ，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.答案C2.(2015·四川卷)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于()A.B.2C.6D.4解析右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，∴y＝±2，∴A(2，2)，B(2，－2)，∴|AB|＝4.答案D3.已知A，B，P是双曲线－＝1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，B(－x1，－y1)，因为A，P在双曲线上，所以两式相减，得kPAkPB＝＝，所以e2＝＝，故e＝.答案D4.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.B.C.D.解析易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－1x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝sin30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.答案D5.(2016·贵阳一模)已知抛物线y2＝4px(p＞0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A.B.＋1C.＋1D.解析依题意，得F(p，0)，因为AF⊥x轴，设A(p，y)，y>0，y2＝4p2，所以y＝2p.所以A(p，2p).又点A在双曲线上，所以－＝1.又因为c＝p，所以－＝1，化简，得c4－6a2c2＋a4＝0，即－6＋1＝0.所以e2＝3＋2，e＝＋1.答案B二、填空题6.已知直线l过椭圆8x2＋9y2＝72的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，则弦|MN|的长为________.解析由得11x2－18x－9＝0.由根与系数的关系，得xM＋xN＝，xM·xN＝－.由弦长公式|MN|＝|xM－xN|＝·＝＝.答案7.(2016·南阳模拟)直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值是________.解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，由题意得∴即k＝2.答案28.过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴＋＝0，∴＝－·. ＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－＝－，2∴a2＝2b2.又 b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.答案三、解答题9.已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且AC与BD同向.(1)求C2的方程；(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率.解(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1).因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以＋＝1.②联立①，②得a2＝9，b2＝8.故C2的方程为＋＝1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).因AC与BD同向，且|AC|＝|BD|，所以AC＝BD，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.由得x2－4kx－4＝0.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3＋x4＝－，x3x4＝－，⑤将④，⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝，所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.10.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点.(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；3(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.解(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a).又y...
