专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程训练文解答题1.已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1，0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程.解(1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为.(2)点M的直角坐标为，A(1，0).故直线AM的参数方程为(t为参数).2.已知直线l：(t为参数，α≠kπ，k∈Z)经过椭圆C：(φ为参数)的左焦点F.(1)求m的值；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的最小值.解(1)因为椭圆C：的普通方程为＋＝1，所以F(－1，0).因为直线l：的普通方程为y＝tanα(x－m)，因为α≠kπ，k∈Z，所以tanα≠0.因为0＝tanα(－1－m)，所以m＝－1.(2)将直线的参数方程代入椭圆C的普通方程＋＝1中，并整理，得(3cos2α＋4sin2α)t2－6tcosα－9＝0.设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2.则|FA|·|FB|＝|t1t2|＝＝，当sinα＝±1时，|FA|·|FB|取最小值.3.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足OP＝2OM，点P的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解(1)设P(x，y)，则由条件知M，由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为(α为参数).(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin＝2，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin＝4.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.4.(2015·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α).所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.5.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.解法一(1)由ρ＝2sinθ，得x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得＋＝5，即t2－3t＋4＝0.由于Δ＝(－3)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.法二(1)同法一.(2)因为圆C的圆心为(0，)，半径r＝，直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋.由得x2－3x＋2＝0.解得或不妨设A(1，2＋)，B(2，1＋)，又点P的坐标为(3，).故|PA|＋|PB|＝＋＝3.6.(2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解(1)C1的普通方程为＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cosα，sinα).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，d(α)＝＝.当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.
