【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第9章 第7节 用向量方法证明平行与垂直 理（含解析）新人教B版VIP专享VIP免费

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第9章第7节用向量方法证明平行与垂直(理)新人教B版一、解答题1.(2014·长春模拟)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．[解析](1)证明： PA⊥平面ABCD，∴PB与平面ABCD所成的角为∠PBA＝45°.∴AB＝1，由∠ABC＝∠BAD＝90°，易得CD＝AC＝，∴AC⊥CD.又 PA⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，又CD⊂平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD.(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，则PE＝(0，y，z－1)，PD＝(0,2，－1)． PE∥PD，∴y·(－1)－2(z－1)＝0① AD＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，又CE＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB.∴CE⊥AD.∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，∴y＝1.将y＝1代入①，得z＝.∴E是PD的中点，∴存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点．2.(2013·辽宁六校联考)在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O是AB的中点．(1)在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；(2)求证：平面PAB⊥平面ABC.[解析]解法一：(1)当M为棱PA的中点时，OM∥平面PBC.证明如下： M，O分别为PA，AB的中点，∴OM∥PB.又PB⊂平面PBC，OM⊄平面PBC，∴OM∥平面PBC.(2)连接OC，OP. AC＝CB＝，O为AB的中点，AB＝2，∴OC⊥AB，OC＝1.1同理，PO⊥AB，PO＝1.又PC＝，∴PC2＝OC2＋PO2＝2，∴∠POC＝90°，∴PO⊥OC. AB∩OC＝O，∴PO⊥平面ABC. PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC.解法二：设PA＝a，PB＝b，PC＝c，则由条件知|a|＝|b|＝|c|＝，a·c＝b·c＝1，在△PAB中，PA＝PB＝，AB＝2，∴PA⊥PB，∴a·b＝0.(1)设PM＝λa，则OM＝PM－PO＝λa－(a＋b)＝(λ－)a－b， OM∥平面PBC，∴存在实数s，k，使OM＝sb＋kc，∴sb＋kc＝(λ－)a－b，由平面向量基本定理知，λ＝，s＝－，k＝0，∴M为PA的中点．(2)PO＝(a＋b)， PO·AC＝(a＋b)·(c－a)＝(a·c＋b·c－|a|2－a·b)＝0，PO·AB＝(a＋b)·(b－a)＝(|b|2－|a|2)＝0，∴PO⊥AC，PO⊥AB，∴PO是平面ABC的法向量，又PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC.3．(2014·北京)如图，正方形AMDE的边长为2，B、C分别为AM、MD的中点．在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD、PC分别交于点G、H.(1)求证：AB∥FG；(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．[解析](1)在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE.又因为AB⊄平面PDE，所以AB∥平面PDE.因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG.(2)因为PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE.如图建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，BC＝(1,1,0)．2设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝－1，所以n＝(0，－1,1)．设直线BC与平面ABF所成角为α，则sinα＝|cos〈n，BC〉|＝||＝.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.设点H的坐标为(u，v，w)．因为点H在棱PC上，所以可设PH＝λPC(0<λ<1)，即(u，v，w－2)＝λ(2,1，－2)，所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ，因为n是平面ABF的法向量，所以n·AH＝0，即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，解得λ＝，所以点H的坐标为(，，)．所以PH＝＝2.4.(2014·安徽淮南二模)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点，且CF＝2.(1)求证：B1F⊥平面ADF；(2)若C1P＝C1A1，求证：PF∥平面ADB1.[解析]取BC的中点D， AB＝AC，∴AD⊥BC，取B1C1的中点D1，则DD1⊥平面ABC，分别以CB、AD、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，∴A(0，－2，0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，A1(0，－2，3)，B1(1,0,3)，C1(－1,0,3)， CF＝2，∴F(－1,0,2)．3(1)B1F＝(－2,0，－1)，DA＝(0，－2，0)，DF＝(－1,0,2)，B1F·DA＝0，B1F·DF＝0，∴B1F⊥平面ADF，∴B1F⊥平面ADF.(2) C1P＝C1A1＝·(1，－2，...