【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第9章第7节用向量方法证明平行与垂直(理)新人教B版一、解答题1.(2014·长春模拟)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1.(1)求证:平面PAC⊥平面PCD;(2)在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?若存在,请确定E点的位置;若不存在,请说明理由.[解析](1)证明: PA⊥平面ABCD,∴PB与平面ABCD所成的角为∠PBA=45°.∴AB=1,由∠ABC=∠BAD=90°,易得CD=AC=,∴AC⊥CD.又 PA⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,又CD⊂平面PCD,∴平面PAC⊥平面PCD.(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),设E(0,y,z),则PE=(0,y,z-1),PD=(0,2,-1). PE∥PD,∴y·(-1)-2(z-1)=0① AD=(0,2,0)是平面PAB的法向量,又CE=(-1,y-1,z),CE∥平面PAB.∴CE⊥AD.∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0,∴y=1.将y=1代入①,得z=.∴E是PD的中点,∴存在E点使CE∥平面PAB,此时E为PD的中点.2.(2013·辽宁六校联考)在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC是边长为的等边三角形,AB=2,O是AB的中点.(1)在棱PA上求一点M,使得OM∥平面PBC;(2)求证:平面PAB⊥平面ABC.[解析]解法一:(1)当M为棱PA的中点时,OM∥平面PBC.证明如下: M,O分别为PA,AB的中点,∴OM∥PB.又PB⊂平面PBC,OM⊄平面PBC,∴OM∥平面PBC.(2)连接OC,OP. AC=CB=,O为AB的中点,AB=2,∴OC⊥AB,OC=1.1同理,PO⊥AB,PO=1.又PC=,∴PC2=OC2+PO2=2,∴∠POC=90°,∴PO⊥OC. AB∩OC=O,∴PO⊥平面ABC. PO⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面ABC.解法二:设PA=a,PB=b,PC=c,则由条件知|a|=|b|=|c|=,a·c=b·c=1,在△PAB中,PA=PB=,AB=2,∴PA⊥PB,∴a·b=0.(1)设PM=λa,则OM=PM-PO=λa-(a+b)=(λ-)a-b, OM∥平面PBC,∴存在实数s,k,使OM=sb+kc,∴sb+kc=(λ-)a-b,由平面向量基本定理知,λ=,s=-,k=0,∴M为PA的中点.(2)PO=(a+b), PO·AC=(a+b)·(c-a)=(a·c+b·c-|a|2-a·b)=0,PO·AB=(a+b)·(b-a)=(|b|2-|a|2)=0,∴PO⊥AC,PO⊥AB,∴PO是平面ABC的法向量,又PO⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面ABC.3.(2014·北京)如图,正方形AMDE的边长为2,B、C分别为AM、MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD、PC分别交于点G、H.(1)求证:AB∥FG;(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.[解析](1)在正方形AMDE中,因为B是AM的中点,所以AB∥DE.又因为AB⊄平面PDE,所以AB∥平面PDE.因为AB⊂平面ABF,且平面ABF∩平面PDE=FG,所以AB∥FG.(2)因为PA⊥底面ABCDE,所以PA⊥AB,PA⊥AE.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),BC=(1,1,0).2设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则y=-1,所以n=(0,-1,1).设直线BC与平面ABF所成角为α,则sinα=|cos〈n,BC〉|=||=.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.设点H的坐标为(u,v,w).因为点H在棱PC上,所以可设PH=λPC(0<λ<1),即(u,v,w-2)=λ(2,1,-2),所以u=2λ,v=λ,w=2-2λ,因为n是平面ABF的法向量,所以n·AH=0,即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0,解得λ=,所以点H的坐标为(,,).所以PH==2.4.(2014·安徽淮南二模)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点,且CF=2.(1)求证:B1F⊥平面ADF;(2)若C1P=C1A1,求证:PF∥平面ADB1.[解析]取BC的中点D, AB=AC,∴AD⊥BC,取B1C1的中点D1,则DD1⊥平面ABC,分别以CB、AD、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, AB=AC=AA1=3,BC=2,∴A(0,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),A1(0,-2,3),B1(1,0,3),C1(-1,0,3), CF=2,∴F(-1,0,2).3(1)B1F=(-2,0,-1),DA=(0,-2,0),DF=(-1,0,2),B1F·DA=0,B1F·DF=0,∴B1F⊥平面ADF,∴B1F⊥平面ADF.(2) C1P=C1A1=·(1,-2,...