【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第5章第3节平面向量的数量积新人教A版一、选择题1．(2013·湖北理，6)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A．B．C．－D．－[答案]A[解析] AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，∴AB·CD＝2×5＋1×5＝15，|CD|＝5，所求投影为|AB|cos
＝＝＝，故选A．2．(文)(2014·大连测试)已知向量|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝，则|a＋b|为()A．9B．7C．3D．[答案]D[解析]依题意得|a＋b|＝＝＝＝，选D．(理)(2013·山东师大附中模拟)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋b|＝()A．9B．C．3D．7[答案]B[解析]|a|＝2，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×1×＝1，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝4＋1＋2＝7，所以|a＋b|＝，选B．3．(2013·北京四中期中)若O是△ABC所在平面内的一点，且满足(BO＋OC)·(OC－OA)＝0，则△ABC一定是()A．等边三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．斜三角形[答案]C[解析]由(BO＋OC)·(OC－OA)＝0得BC·AC＝0，即BC⊥AC，所以∠C＝90°，所以△ABC为直角三角形，选C．4．(文)设A，B，C是圆x2＋y2＝1上不同的三个点，且OA·OB＝0，若存在实数λ，μ使得OC＝λOA＋μOB，则实数λ，μ的关系为()A．λ2＋μ2＝1B．＋＝1C．λ·μ＝1D．λ＋μ＝1[答案]A[解析]由OC＝λOA＋μOB得|OC|2＝(λOA＋μOB)2＝λ2|OA|2＋μ2|OB|2＋2λμOA·OB.因为OA·OB＝0，所以λ2＋μ2＝1，所以选A．(理)已知A、B、C是圆O：x2＋y2＝r2上三点，且OA＋OB＝OC，则AB·OC等于()A．0B．C．D．－[答案]A[解析] A、B、C是⊙O上三点，∴|OA|＝|OB|＝|OC|＝r(r>0)，1 OA＋OB＝OC，∴AB·OC＝(OB－OA)·(OB＋OA)＝|OB|2－|OA|2＝0，故选A．5．(2014·保定模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AC·BC＝1，则BC＝()A．B．C．2D．3[答案]D[解析]设BC＝x(x>0)， AC·BC＝1，∴3x·cosC＝1，又cosC＝，∴3x·＝1，∴x＝3.6．(2014·河北石家庄调研)已知点G是△ABC的重心，若∠A＝120°，AB·AC＝－2，则|AG|的最小值是()A．B．C．D．[答案]C[解析]在△ABC中，延长AG交BC于D， 点G是△ABC的重心，∴AD是BC边上的中线，且AG＝AD． AB·AC＝|AB||AC|cos120°＝－2，∴|AB||AC|＝4. AG＝AD，2AD＝AB＋AC，∴AG＝(AB＋AC)．∴AG2＝[(AB＋AC)]2＝(AB2＋2AB·AC＋AC2)≥[2|AB||AC|＋2×(－2)]＝，∴AG2≥，∴|AG|≥，∴|AG|的最小值是.二、填空题7．(文)(2013·山东潍坊联考)向量a，b满足(a－b)·(2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则a，b的夹角等于________．[答案]120°[解析]由(a－b)·(2a＋b)＝－4得，2|a|2－a·b－|b|2＝－4，即a·b＝－4，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，所以〈a，b〉＝120°.(理)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．[答案][解析](a＋2b)·(a－b)＝－2，即|a|2＋a·b－2|b|2＝－2，∴22＋a·b－2×22＝－2，a·b＝2，又cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为.8．如下图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP·AC＝________.[答案]182[解析]过C作BD的平行线，与AP的延长线交于Q点，则AQ＝2AP＝6，则AP·AC＝|AP|·|AC|cos〈AP，AC〉＝|AP||AQ|＝3×6＝18.9．已知OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)．(1)若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．(2)若△ABC为Rt△，且∠A为直角，则m＝______.[答案]m∈R且m≠[解析](1)若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线． AB＝(3,1)，AC＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)≠2－m，∴m≠.即实数m≠，满足条件．(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则AB⊥AC，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝.三、解答题10．(文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m＝(c－a，b－a)，n＝(a＋b，c)，若m∥n.(1)求角B的大小；(2)若sinA＋sinC的取值范围．[解析](1)由m∥n知＝，即得b2＝a2＋c2－ac，据余弦定理知，cosB＝，得B＝.(2)sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋sin(A＋)＝sinA＋sinA＋cosA＝sinA＋cosA＝sin(A＋)， B＝，∴A＋C＝，∴A∈(0，)，∴A＋∈(，)，∴sin...
