第8讲抛物线基础巩固1.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】D【解析】依题意知,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的轨迹是抛物线.2.在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为()A.B.1C.2D.4【答案】C【解析】由抛物线的定义得4+=5,故p=2.3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,则这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】C【解析】结合图形(图略)分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0).4.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是()A.B.C.D.【答案】B【解析】设弦为AB,则由焦点弦长公式有|AB|=,即=12,∴sinθ=.∴θ=.5.已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为()A.B.C.(1,2)D.(1,-2)【答案】A【解析】点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离,如图,|PF|+|PQ|=|PS|+|PQ|,故最小值在S,P,Q三点共线时取得,此时P,Q的纵坐标都是-1,此时点P坐标为.6.已知抛物线y2=4x上两个动点B,C和点A(1,2),且∠BAC=90°,则动直线BC必过定点()A.(2,5)B.(-2,5)C.(5,-2)D.(5,2)【答案】C【解析】设B,C,BC的中点为D(x0,y0),则y1+y2=2y0,直线BC的方程为,即4x-2y0y+y1y2=0;①又·=0,∴y1y2=-4y0-20,代入①式得2(x-5)-y0(y+2)=0,由此可知动直线BC恒过x-5=0与y+2=0的交点(5,-2).7.(2012·辽宁卷,12)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为()1A.1B.3C.-4D.-8【答案】C【解析】如图所示,由已知可设P(4,y1),Q(-2,y2), 点P,Q在抛物线x2=2y上,∴∴∴P(4,8),Q(-2,2).又 抛物线可化为y=x2,∴y'=x,∴过点P的切线斜率为y'=4,∴过点P的切线为y-8=4(x-4),即y=4x-8.又 过点Q的切线斜率为y'=-2,∴过点Q的切线为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2.联立解得x=1,y=-4,∴点A的纵坐标为-4.8.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为.【答案】【解析】由已知得B,将其代入y2=2px,得1=2p×,∴p=(p>0),则B点到准线的距离为.9.(2012·安徽卷,14)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=3,则|BF|=.【答案】【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3及抛物线定义可得,x1+1=3,即x1=2.故A点坐标为(2,2),则直线AB的斜率为k==2.从而直线AB的方程为y=2(x-1).由消去y得,2x2-5x+2=0,解得x1=2,x2=.故|BF|=x2+1=.10.(2012·浙江卷,17)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=.【答案】【解析】x2+(y+4)2=2到直线y=x的距离为,所以y=x2+a到y=x的距离为,而与y=x平行且距离为的直线有两条,分别是y=x+2与y=x-2,而抛物线y=x2+a开口向上,所以y=x2+a与y=x+2相切,可求得a=.11.(2012·课标全国卷,20)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.【解】(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.2由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为△ABD的面积为4,所以|BD|·d=4,即·2p·p=4,解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0.解得b=-.因为m的截距b1==3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.12.如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值;(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【解】(1)...
