专题四高考中的立体几何问题1.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB．(1)求证：CE⊥平面PAD；(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱锥P－ABCD的体积．[解析](1) PA⊥底面ABCD，CE平面ABCD∴CE⊥PA，又 AB⊥AD，CE∥AB．∴CE⊥AD．又 PA∩AD＝A，∴CE⊥平面PAD．(2)由(1)可知CE⊥AD．在Rt△ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.又 AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形．∴S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△CDE＝AB·AE＋CE·DE＝1×2＋×1×1＝.又PA⊥底面ABCD，PA＝1所以V四棱锥p－ABCD＝S四边形ABCD×PA＝××1＝.2．(2015·潍坊模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD．[证明](1)在△PAD中，因为E、F分别为AP、AD的中点，所以EF∥PD．又因为EF⃘平面PCD，PD平面PCD．所以直线EF∥平面PCD．(2)连结BD．因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD．又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．3．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD、PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD．1[解析](1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD．(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD．又因为BE⃘平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD．(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD．由(1)知PA⊥底面ABCD．所以PA⊥CD．所以CD⊥平面PAD．所以CD⊥PD．因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF，又因为CD⊥BE，BE∩EF＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD．4．如图，在几何体P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2.(1)当AD＝2时，求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)若PC与AD所成的角为45°，求几何求P－ABCD的体积．[解析](1)证明：当AD＝2时，四边形ABCD是正方形，则BD⊥AC． PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴PA⊥BD．又 PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC． BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．2(2)解：PC与AD成45°角，AD∥BC，则∠PCB＝45°. BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，PB平面PAB．∴BC⊥PB．∴∠CPB＝90°－45°＝45°.∴BC＝PB＝2.∴几何体P－ABCD的体积为×(2×2)×2＝.1.(2014·四川高考)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．[解析](1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC．因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC．因为直线BC平面ABC，所以AA1⊥BC．又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1.(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知，O为AC1的中点．连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以，MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE⃘平面A1MC，MO平面A1MC．所以直线DE∥平面A1MC．即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC．32．如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD．[解析](1) DD1⊥平面ABCD，BD平面ABCD∴DD1⊥BD，又 AB＝2AD且∠BAD＝60°∴由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD即BD＝AD，∴AD2＋BD2＝AB2，∴BD⊥AD又 AD∩DD1＝D∴BD⊥平面ADD1A1，又 AA1平面ADD1A1，∴BD⊥AA1(2)连接AC，交BD于M，连接A1M，A1C1， 底面ABCD是平行四边形，∴AM＝C...
