第六章数列第1讲数列的概念及简单的表示法基础巩固1.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是()A.an=B.an=cosC.an=cosπD.an=cosπ【答案】D【解析】令n=1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D项正确.2.已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*,则a4等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】本小题考查了数列的前n项和Sn与通项an间的递推关系,由已知得a4=S4-S3=.3.数列{-2n2+29n+3}中的最大项是()A.107B.108C.108D.109【答案】B【解析】an=-2n2+29n+3=-2+108,∵=7且n∈N*,∴当n=7时,an最大,最大值为a7=108.4.已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于()A.-165B.-33C.-30D.-21【答案】C【解析】∵a2=-6,ap+q=ap+aq,p,q∈N*,∴a4=a2+a2=-12,a8=a4+a4=-24.于是,a10=a8+a2=-24-6=-30.5.已知数列{an}满足a1=0,an+1=(n∈N*),则a20等于()A.0B.-C.D.【答案】B【解析】由题意可知a1=0,a2=-,a3=,a4=0,a5=-,可发现数列{an}是以3为周期进行周期性变化的,易得B项正确.6.在数列{an}中,a1=1,对于所有的n≥2,n∈N*都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】方法一:由题意可知a1·a2=22,于是a2=4.a1·a2·a3=32,于是a3=.a1·a2·a3·a4=42,于是a4=.a1·a2·a3·a4·a5=52,于是a5=.故a3+a5=.方法二:由a1·a2·a3·…·an=n2,得a1·a2·a3·…·an-1=(n-1)2,因此an=(n≥2).故a3+a5=.7.下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是()1A.an=n2-n+1B.an=C.an=D.an=【答案】C【解析】从题图中可观察星星的构成规律,n=1时,有1个;n=2时,有3个;n=3时,有6个;n=4时,有10个;…;故an=1+2+3+4+…+n=.8.数列,…中,有序数对(a,b)可以是.【答案】【解析】从上面的规律可以看出解上式得9.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),则a2013=.【答案】4【解析】由题意可知a3=a2-a1=4,a4=a3-a2=4-5=-1,a5=a4-a3=-1-4=-5,a6=a5-a4=-5-(-1)=-4,a7=a6-a5=-4-(-5)=1,a8=a7-a6=1-(-4)=5.因此数列{an}为周期数列,6为一个周期.故a2013=a3=4.10.若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),则此数列的通项公式为;数列{nan}中数值最小的项是第项.【答案】an=2n-113【解析】n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-10n-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11;∵n=1时,a1=S1=-9,也符合上式,∴an=2n-11.设第n项最小,则于是解得≤n≤.又n∈N*,∴n=3.11.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*,求数列{an}的通项公式.【解】由a1=S1=(a1+1)(a1+2),解得a1=1或a1=2,又已知a1=S1>1,因此a1=2.由an+1=Sn+1-Sn=(an+1+1)(an+1+2)-(an+1)(an+2),得an+1-an-3=0或an+1=-an.因为an>0,故an+1=-an不成立,舍去.因此an+1-an-3=0,即an+1-an=3.从而可知数列{an}是公差为3,首项为2的等差数列,故数列{an}的通项公式为an=3n-1.12.写出下面各数列的一个通项公式:(1)3,5,7,9,…;(2),…;(3),-1,,-,-,….2【解】(1)因为各项减去1后为正偶数,所以an=2n+1.(2)因为每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,…,所以an=.(3)因为偶数项为负,奇数项为正,故通项公式必含因子(-1)n+1,观察各项绝对值组成的数列,从第3项到第6项可见,分母分别由奇数7,9,11,13组成,而分子则是32+1,42+1,52+1,62+1,按照这样的规律第1,2两项可改写为,-,所以an=(-1)n+1·.13.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.(1)求该数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,an=0,an>0,an<0?【解】(1)由an=n2-n-30,得a1=1-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设an=60,则60=n2-n-30.解之,得n=10或n=-9(舍去).故60是此数列的第10项.(2)令n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).因此a6=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).因此当n>6(n∈N*)时,an>0.令n2-n-30<0,解得-5
