直线系与对称问题一、有关直线系问题：与直线L：Ax＋By＋C=0平行的直线系方程为：Ax＋By＋m=0（其中m≠C，m为待定系数）与直线L：Ax＋By＋C=0垂直的直线系方程为：Bx－Ay＋m=0（其中m≠C，m为待定系数）过定点P（x0，y0）的直线系方程为：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0若直线L1：A1x＋B1y＋C1=0与直线，L2：A2x＋B2y＋C2=0相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的直线系方程为L：m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)=0(1),其中m、n为待定系数.为了方便，用A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0(2)表示，其中λ为待定系数.。方程(2)比(1)少一条直线。例1.求证：无论m取何实数时，直线(m－1)x－(m＋3)y－(m－11)=0恒过定点，并求出定点的坐标。例2:求过两直线x－2y＋4=0和x＋y－2=0的交点，且满足下列条件的直线L的方程：(1)过点(2,1)；(2)和直线3x－4y＋5=0垂直二、对称问题：1．求P(a,b)关于下列直线的对称点：①关于x轴的对称点是。②关于y轴的对称点是。③关于x=m的对称点是。④关于y=n的对称点是。⑤关于y=x的对称点是。⑥关于y=－x的对称点是。⑦关于y=x＋m的对称点是。⑧关于y=－x＋m的对称点是。2．设直线Ax＋By＋C=0则直线关于x轴对称的直线是。关于y轴对称的直线是。关于y=x对称的直线是。关于y=－x对称的直线是。3．关于角平分线问题：例１：已知△ABC的顶点A（4,－1）,B（－4,－5）,角B的内角平分线BE所在直线的方程为x－y－1=0，求BC边所在直线方程。练习：求两直线L1：4x＋3y＋1=0和L2：12x＋5y＋13=0的夹角平分线的方程。例2．△ABC的一个顶点是A（3，－1），∠B,∠C的内角平分线所在的直线方程分别为x=0和y=x,求顶点B、C坐标。练习：已知△ABC的顶点A（－1，－4），内角B、C的平分线所在直线分别为L1：y＋1=0和L2：x＋y＋1=0，求BC边所在的直线方程。4．物理光学问题例1：光线沿直线y=3x＋3照射到直线y=x＋1上，再经过直线y=x＋1反射，求反射线所在直线方程。例2：一条光线经过点P（2，3），射到直线x＋y＋1=0上，反射后，穿过点Q（1，1），求光线的入射线和反射线的方程。例3：光线从点P（－3，4）射出，到达x轴上的点Q后，被x轴反射到y轴上的点M，又被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D（－1，6），求QM所在直线方程。5．最值问题：例1．已知x,y满足x＋y=0，求的最小值。例2。已知点A(3,6)，试在y轴及直线x－y－1=0上分别找出P,Q，使△APQ的周长最短.练习：⑴已知两点A（－3，3），B（5，1），在直线y=x上求一点P，使|PA|－|PB|为最大。(2)已知A(－2,4),B(5,8),在直线:2x－y－7=0上求一点C,使|AC|＋|BC|最小.(3)求的最小值。求的最大值。三、综合问题：1．己知x，y满足x＋3y－9=0且x∈[－3,3]，求的取值范围。2．已知直线L过点M(2,3)，求L的方程（1）与坐标轴在第一象限所围成之三角形面积最小；（2）a、b分别为x轴、y轴上的截距，a＋b最小；（3）L在x轴、y轴上的交点分别为A、B，|MA|·|MB|最小。3．己知点A是直线L：y=3x的一个在第一象限内的点，定点B（3，2），直线AB交x轴的正半轴于C，求△OAC的最小面积。并求此时A的坐标。4．己知B（0，2），C（0，6），A为x正半轴上的一点，问A在何处时，∠BAC有最大值，并求最大值。5．己知直线L1：y=4x与点P（6，4），在L1上求一点Q，使直线PQ与直线L1，以及x轴在第一象限围成的三角形面积最小。6．△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标。7．己知△ABC的三边所在直线的方程分别为AB：4x－3y＋10=0，BC：y=2，AC：3x－4y=5，求（1）∠ABC的大小；（2）∠BAC的内角平分线方程；（3）AB边上的高所在的直线方程。8．直线L过A（2，3），且被两平行直线L1：3x＋4y－7=0和L2：3x＋4y＋8=0截得的线段长为3，试求直线L的方程。
