复数代数形式的乘除运算VIP免费

复数代数形式的乘除运算温故夯基1．设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i，类似于把i看成未知数的多项式的加减运算．2．对于两个非零复数z1和z2，|z1±z2|___|z1|＋|z2|.≤2．复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝_____结合律(z1·z2)·z3＝_______乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝________z1·(z2·z3)z1z2＋z1z3z2·z11．复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_________________.ac－bd＋(ad＋bc)i知新益能3.共轭复数如果两个复数满足__________________________时，称这两个复数为共轭复数．z的共轭复数用z表示，即z＝a＋bi，则z＝______.实部相等，虚部互为相反数a－bi1）.共轭复数对应点关于实轴对称。2）．实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数．3）．若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．山东水浒书业有限公司·www.yhfabook.com优化方案系列丛书优化方案系列丛书课前自主学案课前自主学案知能优化训练知能优化训练课堂互动讲练课堂互动讲练第3章数系的扩充与复数的引入返回问题探究1．z·z与|z|2和|z|2有什么关系？提示：z·z＝|z|2＝|z|2.2．z2与|z|2有什么关系？提示：当z∈R时，z2＝|z|2，当z为虚数时，z2≠|z|2，但|z|2＝|z2|.3．对于复数z，z·0＝0成立吗？提示：仍然成立．山东水浒书业有限公司·www.yhfabook.com优化方案系列丛书优化方案系列丛书课前自主学案课前自主学案知能优化训练知能优化训练课堂互动讲练课堂互动讲练第3章数系的扩充与复数的引入返回4．复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则z1z2＝________________________________．a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)复数化简的原则，分子分母同乘以分母的共轭复数，实现了分母实数化(1)复数的乘法可以按照乘法法则进行，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，例如平方差公式，完全平方公式等．(2)复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．复数的乘除法考点突破计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2；(3)(1＋i1－i)6＋2＋3i3－2i.例1【解】(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i；(3)法一：原式＝[1＋i22]6＋2＋3i3＋2i32＋22＝i6＋6＋2i＋3i－65＝－1＋i.【思维总结】对于复数的混合运算，仍可按照先乘方、再乘除、后加减的顺序，有括号先计算括号．法二：(技巧解法)原式＝[1＋i22]6＋2＋3ii3－2ii＝i6＋2＋3ii2＋3i＝－1＋i.变式训练1计算(1－i)2＋2i＋(3＋i3)＋1i的值．解：原式＝－2i＋2i＋3－i－i＝3－2i.已知z＝x＋yi(x、y∈R)且z＝1z，(z＋1)(z＋1)＝x2＋y2，求复数z.例2【思路点拨】z＝1z⇒zz＝1⇒|z|＝1，从而展开(z＋1)·(z＋1)可求．共轭复数z·z＝|z|2，体现了复数与实数的转化．z∈R⇔z＝z；若z≠0，z＋z＝0，则z为纯虚数．【解】 z＝1z，∴zz＝1，∴|z|＝1，即x2＋y2＝1.又 (z＋1)(z＋1)＝x2＋y2，∴z·z＋z＋z＋1＝1，∴2x＋1＝0，∴x＝－12.由x2＋y2＝1，得y2＝34，∴y＝±32.∴z＝－12±32i.【思维总结】本题充分利用了共轭复数的有关性质，使问题直接化简为2x＋1＝0而不是直接把z＝x＋yi代入等式．变式训练2已知x、y∈R，若2x＋(5－y)i和3x－1－(y＋1)i是共轭复数，求复数z＝x＋yi和z.解：因为2x＋(5－y)i和3x－1－(y＋1)i是共轭复数，所以2x＝3x－1，5－y＝y＋1，解得x＝1，y＝2.所以z＝1＋2i，z＝1－2i.虚数单位i的周期性：(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)．(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．n也可以推广到整数集．i的运算性质及应用计算：i＋i2＋i3＋…＋i2010.【思路点拨】解答本题可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简．例3【解】法一：原式＝i1－i20101－i＝i[1－i21005]1－i＝i·1＋11－i＝2i1＋i2＝－1＋i.法二： i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝...