第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数2．3.1幂函数的图象、性质与应用学习目标预习导学典例精析栏目链接1.通过具体实例了解幂函数的图象和性质.2.类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质.3.体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性，并能进行简单的应用.学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接基础梳理学习目标预习导学典例精析栏目链接1．形如y＝xα(α∈R)的函数叫做________，其中α为常数，只研究α为有理数的情形．例如：函数y＝x2，y＝x4的幂函数，而函数y＝2x2不是幂函数．幂函数基础梳理学习目标预习导学典例精析栏目链接(1,1)(0,0)和(1,1)递增递减基础梳理学习目标预习导学典例精析栏目链接奇函数偶函数思考应用学习目标预习导学典例精析栏目链接1．我们知道，形如y＝xα(其中幂指数α是常数)的函数叫幂函数，而形如y＝ax(其中a是大于0且不为1的常数)的函数叫指数函数，那么指数函数与幂函数的区别在哪里？解析：这两个函数都具有幂指数mn的形式，但幂函数y＝xα中，自变量在底数的位置，而指数函数y＝ax中，自变量在幂指数的位置，这两个函数的自变量所在的位置不同．思考应用2．从幂函数的形式：y＝xα来看，它的表达式中只含有一个常数字母，确定一个待定系数通常只要一个条件．若已知幂函数y＝xα过某个定点，你能确定这个幂函数吗？解析：一般来说，由幂函数y＝xα所经过的定点，可以确定这个幂函数．但若只告诉幂函数过原点，那我们只能判断幂指数α>0；若只告诉幂函数过点(1,1)，那告诉的这个点没有任何作用，因为所有的幂函数都过点(1,1)；若只告诉幂函数过点(－1,1),那我们只能判断这个幂指数的图象关于y轴对称，这个幂指数是偶函数．除这三个点之外，由幂函数所经过的定点，可以确定这个幂函数的表达式．学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接思考应用3．如何根据幂函数的图象确定幂指数的大小？解析：作直线x＝t(t>1)，它与各幂函数图象相交，交点在第一象限，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．自测自评学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接自测自评2．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是()A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数解析：本题考查幂的运算性质f(x)f(y)＝axay＝ax＋y＝f(x＋y).答案：C自测自评学习目标预习导学典例精析栏目链接3．函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数且函数f(x)为偶函数，求m的值．解析：∵f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，∴m＝1或m＝2.当m＝1，f(x)＝x3为奇函数，不符合题意；当m＝2时，f(x)＝x4为偶函数，符合题意，∴m＝2.学习目标预习导学典例精析栏目链接www.gzjxw.net题型一幂函数概念的理解应用例1学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：幂函数y＝xα(α∈R)其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对例1来说，还要根据单调性验根，以免增根．学习目标预习导学典例精析栏目链接跟踪训练学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接跟踪训练www.gzjxw.net题型二利用幂函数的性质比较大小例2比较下列各组中两个数的大小：学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：比较两个幂的大小的关键是搞清楚底数与指数是否相同，若底数相同，利用指数函数的性质比较大小；若指数相同，利用幂函数的性质比较大小；若底数指数均不同，考虑利用中间值来比较大小．学习目标预习导学典例精析栏目链接跟踪训练学习目标预习导学典例精析栏目链接2．比较下列各组数的大小：跟踪训练学习目标预习导学典例精析栏目链接1学习目标预习导学典例精析栏目链接跟踪训练学习目标预习导学典例精析栏目链接跟踪训练www.gzjxw.net题型三求幂函数的解析式例3学习目标预习导学典例精析栏目链接3．幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f(9)＝________.3学习目标预习导学典例精析栏目链接跟踪训练
