第25讲解直角三角形及应用考点一解直角三角形1．解直角三角形的定义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)．2．直角三角形的边角关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，sinB＝bc，cosB＝ac，tanB＝ba.3．解直角三角形的类型已知条件解法两直角边(如a，b)由tanA＝ab，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝a2＋b2斜边、一直角边(如c，a)由sinA＝ac，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝c2－a2一锐角与邻边(如∠A，b)∠B＝90°－∠A；a＝b·tanA；c＝bcosA一锐角与对边(如∠A，a)∠B＝90°－∠A；b＝atanA；c＝asinA斜边与一锐角(如c，∠A)∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA；b＝c·cosA温馨提示：解直角三角形的思路可概括为“有斜斜边用弦正弦、余弦，无斜用切正切，宁乘勿除，取原避中”.考点二解直角三角形的应用1．仰角、俯角如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度(坡比)、坡角如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫做坡度(或坡比)，即i＝tanα＝hl，坡面与水平面的夹角α叫做坡角．3．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达为北(南)偏东(西)多少度．如图③，A点位于O点的北偏东60°方向．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．考点一解直角三角形例1(2014·杭州)在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝()A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°【点拨】 ∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°，tanB＝ACBC，∴AC＝BC·tanB＝3tan50°.故选D.【答案】D方法总结：解直角三角形时，结合图形，根据题目的已知条件选择合适的表达式求解.一般地，尽可能选择乘法表达式，并尽可能使用题目给出的原始数据求解.考点二用直角三角形的边角关系解三角形例2(2014·济宁)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，则AB的长为________．【点拨】如图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，AC＝23，∠A＝30°，∴CD＝3，AD＝AC2－CD2＝3.在Rt△BCD中，CD＝3，∠B＝45°，∴BD＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋3.【答案】3＋3温馨提示：当三角形不是直角三角形时，可以通过作高构造直角三角形求解.考点三解直角三角形的应用例3(2014·莱芜)如图，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01米)(参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20)【点拨】本题考查解直角三角形的应用，坡度、坡角问题是常见的类型．解：如图，过点A作BC的垂线交BC于点E.在Rt△ABE中，AB＝25米，∠ABC＝62°，∴AE＝25×sin62°≈25×0.88＝22(米)．BE＝25×cos62°≈25×0.47＝11.75(米)．在Rt△ADE中，AE＝22米，tan50°≈1.20，∴DE＝AEtan50°≈221.20≈18.33(米)．∴DB＝DE－BE≈18.33－11.75＝6.58(米)．答：应将坝底向外拓宽6.58米．方法总结：坡度、坡角和仰角、俯角问题是应用解直角三角形解决问题的两种常见类型.①坡度、坡角问题中，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边是解决此类题目的基本出发点；②仰角、俯角问题中，若出现两个不同的仰角俯角或一个仰角、一个俯角，解决此类问题时，一般是设出未知数，用同一个未知数表示问题中的未知量，然后根据问题中的数量关系列出方程求解.1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则BC的长为(A)A．4B．25C.181313D.1213132．如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线...
