1.4角平分线的性质第1课时角平分线的性质角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.探究如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P,作PDOA,PEOB⊥⊥，垂足分别为点D,E,试问PD与PE相等吗？你能证明吗？你能证明吗？将∠AOB沿OC对折，我发现PD与重合，即PD与PE相等将∠AOB沿OC对折，我发现PD与重合，即PD与PE相等我们来证明这个结论：∵PDOA,PEOB,⊥⊥∴∠PDO=PEO=90°.∠在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=PEO∠，∠DOP=EOP∠，OP=OP,∴△PDOPEO.≌△∴PD=PE.由此得到角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？如图，点P在∠AOB的内部，作PDOA⊥，PEOB,⊥垂足分别为点D,E.若PD=PE,那么点P在∠AOB的平分线上吗？动脑筋如图，过点O,P作射线OC.∵PDOA⊥，PEOB,⊥∴∠PDO=PEO=90°.∠在RtPDO△和RtPEO△中，∵OP=OP,PD=PE,∴RtPDORtPEO.△≌△∴∠AOC=BOC.∠∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.由此得到角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.例1如图，∠BAD=BCD=90°∠，∠1=2.∠（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；（2）求证：BD是∠ABC的平分线上.证明（1）在△ABC中，∵∠1=2∠，∴BA=BC.又BAAD,BCCD,⊥⊥∴点B在∠ADC的平分线上.例题例题（2）在RtBAD△和RtBCD△中，∵BA=BC,BD=BD,∴RtBAD△和RtBCD.△∴∠ABD=CBD.∠∴BD是∠ABC的平分线.1.如图，在直线MN上求作一点P,使点P到∠AOB两边的距离相等.练习解：作∠AOB的平分线，∠AOB的平分线与MN交于一点，如图1所示：点P即为所求.图12.如图，在△ABC中，AD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,BD=CD.求证：AB=AC.证明：∵AD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,∴DE=DF.∵BD=CD,∴Rt△DBE≌Rt△DCF.∴∠B=∠C.∴AB=AC.•今天这堂课学了什么内容？反思小结1.角平分线上的点到角的两边的距离相等.2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
