一、选择题1．已知i，j，k是空间的标准正交基，并且AB＝－i＋j－k，则AB的坐标为()A．(－1,1，－1)B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－1)D．不确定【解析】根据空间向量坐标的定义知，AB＝(－1,1，－1)，故选A.【答案】A新-课-标-第-一-网2．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以与m，n构成空间另一个基底的向量是()A．aB．bC．cD．2a【解析】∵a＝(m＋n)，b＝(m－n)，∴a，b,2a与m，n均不可能构成一组基向量，故选C.【答案】C3．在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，若N为BC的中点，则MN等于()A.a－b＋cB．－a＋b＋cC.a＋b－cD．a＋b－c【解析】如图MN＝MO＋OB＋BN＝－OA＋OB＋BC＝－OA＋OB＋(OC－OB)＝－OA＋OB＋OC－OB＝－OA＋OB＋OC＝－a＋b＋c.【答案】B4．棱长为2的正四面体ABCD中，以△BCD的中心O为坐标原点，OA为z轴，OC为y轴建立坐标系，如图2－3－11，M为AB中点，则OM的坐标为()图2－3－11A．(，－，)B．(1，－，)C．(，－，)D．(1，－，)【解析】△BCD的中线长为×2＝，则OC＝.∴OA＝＝＝.∴点A的坐标为(0,0,)．又点B的坐标为(1，－，0)．则AB中点M的坐标为(，－，)．∴OM＝(，－，)．【答案】A5．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若AP＝xAB＋yAD＋zAA1，且0≤x≤y≤z≤1.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是()A．1B．C.D．wWw.xKb1.coM【解析】根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD－A1C1D1内，满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1－BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A－A1C1D1内，其体积是××1×1×1＝.【答案】D二、填空题6．设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，a＝3i＋j－k，则向量a的坐标为________．【解析】根据空间向量坐标的含义，a＝(3,2，－1)．【答案】(3,2，－1)wWw.Xkb1.cOm7．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM＝xOA＋OB＋OC，则x＝________.【解析】由于M∈平面ABC，所以x＋＋＝1，解得x＝.【答案】8．已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i上的投影为________．【解析】a在i上的投影为＝＝1.【答案】1三、解答题9．如图2－3－12所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1.新课标第一网图2－3－12【解】(1)∵P是C1D1的中点，∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1＝a＋c＋AB＝a＋c＋B．(2)∵N是BC的中点，∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋BC＝－a＋b＋AD＝－a＋b＋c.(3)∵M是AA1的中点，∴MP＝MA＋AP＝A1A＋AP＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c，又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1＝AD＋AA1＝c＋a，∴MP＋NC1＝(a＋b＋c)＋(a＋c)＝a＋b＋c.10．如图2－3－13，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1上的点，并且BE＝BB1，DF＝DD1.(1)证明：A，E，C1，F四点共面；新课标第一网(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值．图2－3－13【解】(1)证明：AC1＝AB＋BC＋CC1＝AB＋AD＋AA1＝AB＋AD＋AA1＋AA1＝AB＋BE＋AD＋DF＝AE＋AF，故A，E，C1，F四点共面．(2)∵EF＝AF－AE＝AD＋DF－AB－BE＝AD＋AA1－AB－AA1＝－AB＋AD＋AA1，∴x＝－1，y＝1，z＝.∴x＋y＋z＝.11．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足OM＝OA＋OB＋OC.(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．【解】(1)∵OA＋OB＋OC＝3OM，∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)．∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC.∴向量MA，MB，MC共面．(2)由(1)知，向量MA，MB，MC共面，三个向量的基线又有公共点M，∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内.系列资料www.xkb1.com
