上海应用技术学院2012—2013学年第二学期《高等数学（工）2》期中试卷答案一．单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）．1．C；2．B；3．B；4．B；5．B；6．D；7．B；8．D；9．D；10．A．二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）．11．；12．；13．14．；15．；16．．三．计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）．17．求过直线并且与直线平行的平面方程．解：直线：的方向向量为…………………………（1分）直线：的方向向量为………………………（1分）所求平面的法向量………………………（2分）平面过点所以所求平面的方程：，即……（2分）18．设，求，，．解：………………………………………………………………………（2分）第1页共7页…………………………………………………………………………（2分）………………………………（2分）19．设,其中是二元可微函数，求．解：令…………………………………………（2分）…………………………………………（2分）………………………………（2分）20．求曲面在处的切平面与法线方程．解：令……………………………………………………（1分），…………………………………………………（1分），………………………………………………………（1分），………………………………………………（1分）第2页共7页所求切平面的法向量为切平面方程：，即…………………（1分）法线方程：………………………………………………………（1分）21．用适当方法判别下列级数的敛散性．（1）（2）解：（1），又发散……………………………………………………（2分）由比较判别法极限形式知级数发散…………………………………………（1分）（2）……………………………………………（2分）由比值判别法知级数发散……………………………………………………（1分）22．求幂级数的收敛区间与和函数．解：由………………………………………（1分）第3页共7页当时，级数收敛，当时，级数发散，当时，级数为，收敛当时，级数为，发散所以收敛区间为，收敛域为……………………………………………（1分）当时，，………………………………………………………………（1分）………………………………………………………………（1分）………………………………………………………………………（1分）……………………………………………………………（1分）（没有写收敛域只写收敛区间的不扣分）23．把函数展开成的幂级数．解……………………………………………（1分）……………………………（1分）…………………………………（2分）第4页共7页…………………………………………………（1分）使上式成立范围：且所以当即时上式成立…………………………………………（1分）24．交换二次积分，并计算的值．解：积分区域所以……………………………………………（3分）……………………………………………………………………（1分）………………………………………………………（1分）………………………………………………………………………（1分）四．应用与证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）．25．求的极值．第5页共7页解：…………………………………………（1分）……………………………………………（1分）解得驻点……………………………………………………………（2分），，…………………………（1分）在点处，，，且（1分）所以函数在取得极大值，且极值为．………………………………………（1分）26．设是由方程，确定的隐函数，其中是可微函数，证明．证明：设，…………………………………………………………………………（1分），………………………………………………………………………（1分），………………………………………………………………………（1分）又．……………………………………………………………（2分）．……………………………………………………………（2分）第6页共7页所以.第7页共7页
