【2013年高考会这样考】1．考查含绝对值不等式的解法．2．考查有关不等式的证明．3．利用不等式的性质求最值．【复习指导】本讲复习时，紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明．该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质．基础梳理1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔或；(2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔；(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.f(x)＞af(x)＜－a－a＜f(x)＜a3．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a、b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(i＝1na2i)(i＝1nb2i)≥(i＝1naibi)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．5．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．3．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________．解析 |x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k＜1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k＜1.答案k＜14．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．解析由|3x－b|＜4，得b－43＜x＜b＋43，即0≤b－43＜1，3＜b＋43≤4，解得5＜b＜7.答案(5,7)5．(2011·南京模拟)如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是________．解析在数轴上，结合实数绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.答案(－∞，－5]∪[－3，＋∞)考向一含绝对值不等式的解法【例1】►设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．[审题视点]第(1)问：采用分段函数解不等式；第(2)问：画出函数f(x)的图象可求f(x)的最小值．解(1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝－x－5x＜－12，3x－3－12≤x＜4，x＋5x≥4.当x＜－12时，由f(x)＝－x－5＞2得，x＜－7.∴x＜－7；当－12≤x＜4时，由f(x)＝3x－3＞2，得x＞53，∴53＜x＜4；当x≥4时，由f(x)＝x＋5＞2，得x＞－3，∴x≥4.故原不等式的解集为xx＜－7或x＞53.(2)画出f(x)的图象如图：∴f(x)min＝－92.(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．【训练1】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．解(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，f(x)＝－2x，x＜－1，2，－1≤x≤1，2x，x＞1.作出函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的图象．由图象可知，不等式的解集为x|x≤－32或x≥32.(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件；若a＜1，f(x)＝－2x＋a＋1，x≤a，1－a，a＜x＜1，2x－a＋1，x≥1，f(x)的最小值为1－a.若a＞1，f(x)＝－2x＋a＋1，x≤1，a－1，1＜x＜a，2x－a＋1，x≥a，f(x)的最小值为a－1.∴对于∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．考向二不等式的证明【例2...
