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2012年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1～1011～1516171819得分评卷人复查人一、选择题（共5小题，每小题6分，共60分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．（A）2ca（B）2a2b（C）a（D）a2．如果，那么的值为（）．（A）（B）（C）2（D）3．如果正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=（b≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）4．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10（B）9（C）7（D）55．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1（B）（C）（D）6．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD=3，BD=5，则CD的长为（）．（A）（B）41（C）（D）4.57．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．（A）1（B）2（C）3（D）48．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A）5（B）6（C）7（D）89．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．（A）（B）（C）（D）10．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A）2012（B）101（C）100（D）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）11．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是.12．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是.13．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+=0的两个实数根分别为，，那么的值为．214．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为.15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD=DC.分别延长BA，CD，交点为E.作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F.若AE=AO，BC=6，则CF的长为.三、解答题（共4题，每题15分，共60分）16．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．17．如图，⊙O的直径为，⊙O过点，且与⊙O内切于点．为⊙O上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．18．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数.当a≥2012时，求a的最小值.19．求所有正整数n，使得存在正整数，满足3，且.2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1。C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知，且，所以．2．B解：．3．D解：由题设知，，，所以.解方程组得所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.4．B解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.因为均为整数，所以有解得4以上共计9对.5．D解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为，中位数为，于是.6．B解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.由于AC=BC，CD=CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，所以△BCD≌△ACE，BD=AE.又因为，所以.在Rt△中，于是DE=，所以CD=DE=4.7．D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数.由题设可得消去x得(2y－7)n=y+4，2n=.因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5...