抛物线【学习目标】1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．理解数形结合的思想；掌握代数知识、平面几何知识在解析几何中的作用．3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．【基础检测】1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A.12B．1C．2D．4【解析】由题知抛物线的准线为x＝－p2，圆心为(3，0)、半径为4，由准线与圆相切得圆心到准线的距离d＝3＋p2＝4，解得p＝2.C2．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上，那么抛物线的方程是()A．y2＝－16xB．y2＝12xC．y2＝16xD．y2＝－12x【解析】由题设知直线3x－4y－12＝0与x轴的交点(4，0)即为抛物线的焦点，故其方程为y2＝16x.C3．已知点A(3，4)，F是抛物线y2＝8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|AM|＋|MF|最小时，M点坐标是()A．(0，0)B．(3，26)C．(2，4)D．(3，－26)【解析】由题知点A在抛物线内．设M到准线的距离为|MK|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MK|，当|MA|＋|MK|最小时，M点坐标是(2，4)．C4．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48【解析】设抛物线方程为y2＝2px，当x＝p2时，y2＝p2，∴|y|＝p.∴p＝|AB|2＝122＝6，又点P到AB的距离始终为6，∴S△ABP＝12×12×6＝36.故选C.C5.(2014·山东省实验中学诊断)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|＞4时，|PA|＋|PM|的最小值是________．解将x＝4代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±4，|a|＞4，所以A在抛物线的外部，如图，由题意知F(1,0)则抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1.当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取最小值，此时|PA|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝9＋a2－1.9＋a2－1安装几何画板5.05，才可动态演示【知识要点】1．抛物线的定义平面内与一定点F和一条定直线l的距离______的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程、图形及几何性质见下表：相等标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形焦点Fp2，0准线x＝p2范围①x≥0，y∈R②x≤0，y∈R③x∈R，y≥0④x∈R，y≤0,02PF0,2PF0,2PF2Px2Py2Py对称轴⑤________⑥_________顶点O(0，0)O(0，0)离心率e＝1e＝1开口⑦____⑧____⑨____⑩____焦半径⑪|PF|＝p2＋x0⑫|PF|＝p2＋|x0|⑬|PF|＝p2＋y0⑭|PF|＝p2＋|y0|3.焦半径抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2.x轴y轴向右向左向上向下一、抛物线的标准方程及应用例1已知如图，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．【解析】(1)抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p＝2.∴抛物线的标准方程为y2＝4x.(2)由(1)得点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)， F(1，0)，∴kFA＝43. MN⊥FA，∴kMN＝－34.则FA所在直线的方程为y＝43(x－1)，MN所在直线的方程为y－2＝－34x.解方程组y＝43（x－1），y－2＝－34x，得x＝85，y＝45.∴N85，45.【点评】用待定系数法求过定点抛物线的标准方程时，通常由于抛物线的开口方向不定有两种形式，这一点解题不可忽略，否则将会造成漏解．二、抛物线的定义及应用例2已知动圆过定点F(0，2)，且与定直线l：y＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过点F(0，2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，求证：AQ⊥BQ.【解析】(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0，2)为焦点，l：y＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线的距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x2＝8y.(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直，设AB：y＝kx＋2，A(...
