高数极限方法VIP免费

第一章第三节机动目录上页下页返回结束函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质一、函数极限的定义机动目录上页下页返回结束比较数列极限与函数极限：anfn)(lim与axfx)(lim例如：说明以下两个极限的区别和联系xyo2123NX二者的不同主要表现在自变量的变化方式上.自变量两种基本变化趋势趋向于无穷Ox趋向于一点0xxx邻域的点0x邻域的去心点0x机动目录上页下页返回结束XXAAoxy)(xfyA1、自变量趋于无穷大时函数的极限定义1.设函数大于某一正数时有定义,若,0X则称常数时的极限,Axfx)(lim几何解释:AxfA)(XxXx或记作直线y=A为曲线的水平渐近线.,0机动目录上页下页返回结束A为函数例1.证明.01limxx证:01xx1取,1X因此就有故,0欲使即oxyxy1机动目录上页下页返回结束注:机动目录上页下页返回结束两种特殊情况:直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.Axfx)(lim,0,0X当时,有Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时,有Axf)(几何意义:Axfx)(lim)(lim)(limxfAxfxx机动目录上页下页返回结束xyo22例如!不存在2、自变量趋于有限值时函数的极限机动目录上页下页返回结束引例xy01112)2,1(xxyy我们可以说，【结论】机动目录上页下页返回结束时，当0.1xx)(有无极限与函数在该点函数xf是否有定义无关.0时的极限时，因而考察xx规定.0xx引例2,11)2(1)(xxkkxxf时，当0.2xx处有＝有极限且在函数)(0xxxf定义，.)(的大小无关数值则其极限值与该点的函xf.)()(lim00不一定成立也就是说xfxfxx定义1.设函数在点的某去心邻域内有定义,,0,0当00xx时,有Axf)(则称常数A为函数当时的极限,Axfxx)(lim0或即当时,有若记作几何解释:0xAAAx0xy)(xfy机动目录上页下页返回结束左极限与右极限左极限:Axfxx)(lim0机动目录上页下页返回结束)(0xf,0,0当),(00xxx时,有右极限:Axfxx)(lim0)(0xf,0,0当),(00xxx时,有Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00例2.设函数0,10,00,1)(xxxxxxf讨论0x时,)(xf的极限是否存在.xyo11xy11xy解:因为)0(f机动目录上页下页返回结束)(lim0xfx)1(lim0xx1)0(f)(lim0xfx)1(lim0xx1显然,)0()0(ff所以)(lim0xfx不存在.例3.证明证:Axf)(故,0对任意的,0当时,因此总有机动目录上页下页返回结束例4.证明证:Axf)(12x欲使,0取,2则当10x时,必有因此,)(Axf只要机动目录上页下页返回结束例5.证明证:Axf)(故,0取,当时,必有2112xx因此.211lim21xxx机动目录上页下页返回结束【小结】的一般步骤：证明Axfxx)(lim0;0.1.||)(0的代数表达式有过的等式中只放大整理xx|)(|.2Axf要使整理恒成立时则当|)(|,||.40AxfxxAxfx)(lim;)()(.30，取只要解出xx机动目录上页下页返回结束例6.证明:当证:Axf)(001xxx欲使,0且而可用因此,)(Axf只要00limxxxx时，故取,,min00xx则当00xx时,保证.必有ox0xx机动目录上页下页返回结束二、函数极限的性质定理1.（函数极限的唯一性）机动目录上页下页返回结束那么这极限唯一.定理2.（函数极限的局部有界性）那么存在常数M>0和δ>0，使得当00xx时,有.)(Mxf证:因为当00xx时,有1)(AxfAAxfxf)()(AAxf)(A1记.1AM定理3.（函数极限的局部保号性）如果且A>0,则存在机动目录上页下页返回结束.0)(xf)0)((xf(A<0)证:已知即,0当时,有当A>0时,取正数则在对应的邻域(<0))(A)0(:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上若则存在使当时,有定理:23)(2AxfA2)(23AxfA分析:机动目录上页下页返回结束3推论.若在的某去心邻域内0)(...