高中数学难题VIP免费

1.已知函数f(x)=(4^x+k2^x+1)/(4^x+2^x+1)（1）若对任意的x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数k的取值范围（2）若f(x)的最小值为-3，求实数k的值（3）若对任意实数x1,x2,x3，均存在以f(x1),f(x2),f(x3)为三边边长的三角形，求实数k的取值范围。1.可设2^x=tt>0则令f（x）>0对于x为R成立即为一个二次函数实根分布问题有k大于-2按第一小题的思路可化简f（t）=1+（k-1）/（t+1/t+1）用基本不等式可解出最值，再把-3带入可得k=-11题意即为f（x）最大值与最小值minminmax可组成三角形（1）f（x）=（4^x+k2^x+1）/（4^x+2^x+1））=（4^x+（k-1）2^x+2^x+1）/（4^x+2^x+1）=1+【（k-1）2^x/（4^x+2^x+1）】=1+【（k-1）/（2^x+1+2^（-x））】＞0所以（k-1）/（2^x+1+2^（-x））＞-1；k＞-（2^x+2^（-x）），且2^x+2^（-x）＞=2（因为2^x＞0且2^（-x）＞0），当且仅当2^x=2^（-x）是取得等号所以k＞-2（2）f（x）=（4^x+k2^x+1）/（4^x+2^x+1））=1+【（k-1）2^x/（4^x+2^x+1）】=1+【（k-1）/（2^x+1+2^（-x））】k＞1时，令分母（2^x+1+2^（-x））最大时，f（x）最小，但（2^x+1+2^（-x））最大为无穷，不合题意；k＜1时，令分母（2^x+1+2^（-x））最小时，f（x）最小，所以分母应为3，可得1+【（k-1）/3】=-3所以k=-11（3）由题意f（x1）-f（x3）＜f（x2）＜f（x1）+f（x3）且f（x1），f（x2），f（x3）均大于零；f（x1）-f（x3）的最大值为f（x）max-f（x）min；f（x1）+f（x3）的最小值为2f（x）min；于是得f（x）max-f（x）min＜f（x）＜2f（x）min；f（x）max-f（x）min＜=f（x）min；f（x）max＜=2f（x）min；由于f（x）＞0，故，f（x）min一定存在，故f（x）max一定存在；故1+【（k-1）/（2^x+1+2^（-x））】存在最大值，故k＞=1，此时f（x）max=1+（k-1）/3；f（x）min=1（因为分母2^x+1+2^（-x）可取无穷大，故f（x）在x趋于无穷大时，趋于1）于是，1+（k-1）/3＜=2，即k＜=4又因为已经知道k＞=1所以1＜=k＜=4已知函数f（x）=（4^x+k2^x+1）/（4^x+2^x+1）（1）若对任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围（2）若f（x）的最小值为-3，求实数k的值（3）若对任意实数x1，x2，x3，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边边长的三角形，求实数k的取值范围．2.f的任意3个函数值为边可构成三角形，即任意两个函数值h（t1），h（t2）之和会大于第三个函数值h（t3），则只要满足2h（t）min＞h（t）max即可．1）.k-1＜0时，h（t）增函数，h（t）min=h（tmin）=h（2）=1+（k-1）/3；当t→∞时，h（t）max趋近于但小于Limh（t）=1，因为（k-1）/（t+1）＜0恒成立；则，1+（k-1）/3＞=1/2Limh（t）=1/2，得k＞=-1/2；加上前提条件k＜1，则-1/2≤k＜12）.k-1=0时，h（t）=1恒成立，构成等边三角形3）.k-1＞0时，h（t）减函数，则h（t）max=h（tmin）=h（2）=1+（k-1）/3；当t→∞时，h（t）min趋近于但大于Limh（t）=1，因为（k-1）/（t+1）＞0恒成立；2h（t）min＞h（t）max，即2Limh（t）＞=h（t）max，2＞=1+（k-1）/3，则k＜=4；加上前提条件则1＜k＜=4综上所述，-1/2≤k＜=41）令t=2^x＞0，则f=（t^2+kt+1）/（t^2+t+1）=[（t+k/2）^2+1-k^2/4]/（t^2+t+1）因为分母t^2+t+1＞0+0+1=1，故分子需恒大于0，k＞=0时显然成立k＜0时，因为t＞0，分子的最小值为当t=-k/2时取得，为1-k^2/4＞0，故有-2＜k＜0综合得：k＞-22）同1），t^2+kt+1=ft^2+ft+f（f-1）t^2+t（f-k）+f-1=0delta=（f-k）^2-4（f-1）^2=（2f-k-1）（1-k）＞=0，f有最小值，则有f＞=（k+1）/2，1-k＞0故有（k+1）/2=3，得：k=53）依题意，表明f（x）恒大于0，且其最大值M小于最小值m的2倍由1）k＞-2，由2）f＞=（k+1）/2同时，（f-1）t^2+t（f-k）+f-1=0的两根积=1，因此两根须都为正根故两根和=-（f-k）/（f-1）＞0，得：k＞1时，1＜f＜k；此时m=（k+1）/2，M=k，得：M＜2m，符合-2＜k＜1时，k＜f＜1；此时m=（k+1）/2，M=1，得：M＜2m，符合k=1时，f（x）=1，也符合综合得：k＞-21）令t=2^x＞0，则f=（t^2+kt+1）/（t^2+t+1）=[（t+k/2）^2+1-k^2/4]/（t^2+t+1）因为分母t^2+t+1＞0+0+1=1，故分子需恒大于0，k＞=0时显...