概率论与随机过程-第四章VIP免费

第四章、随机变量的数字特征矩、协方差矩阵数学期望方差协方差及相关系数返回目录§4.1数学期望例1、设甲乙二人在同样的条件下进行射击，他们各自命中的环数分别为随机变量X和Y，分别如下：X8910P0.30.10.6Y8910P0.20.50.3试比较甲乙二人技术水平的高低。一、离散型随机变量的数学期望先看一个例子：可以这样理解:甲乙都各发射100发子弹，甲命中10环的有100×0.6＝60发，命中9环的有100×0.1＝10发，命中8环的有100×0.3＝30发，于是甲平均命中环数为：同理乙平均命中环数为：3.93.081.096.0101.92.085.093.0101002085093010因此甲射手的技术水平高于乙射手。由此可见，平均值恰好为随机变量一切可能取值与取相应值的概率的乘积的总和。10030810010910060101003081096010定义1设离散型随即变量X的分布律为，（k=1，2，3……）若级数1kkkpx绝对收敛，则称此级数的和为随机变量X的数学期望，简称期望，又称为均值，记为E(X)，即1)(kkkpxXE（1）上面的定义为什么要附加条件级数绝对收敛？（2）若随机变量只取有限个值时，其期望是否一定存在？（3）若X服从参数为p的两点分布，E(X)＝？想一想：kkkpxXP}{例2若X为服从参数为λ的泊松分布，计算这一分布的数学期望。解由此可见，服从参数为λ的泊松分布的数学期望正好为其参数值λ。例3按规定，某车站8:00－9:00，9:00－10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为：到站时刻8：109：108：309：308：509：50概率1/63/62/6一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望。解例4某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记使用寿命为X年，规定：X≤1时，一台付款1500元；1＜X≤2时，一台付款2000元；2＜X≤3时，一台付款2500元；X＞3时，一台付款3000元。设寿命X服从参数为10的指数分布，试求该商店一台收费Y的数学期望。分析：先求出Y的分布律，然后求出E(Y)。例5在某地进行某种疾病地普查，为此检验每个人的血液，如果当地有N个人，若逐个检验就需进行N次检验，问有没有办法减少检验的工作量？解§4.1数学期望二、连续型随机变量的数学期望定义2设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分dxxxf)(学期望，简称期望，又称为均值，记为E(X)，即dxxxfXE)()(以上定义确实反映了续型随机变量X取值的“平均”，事实上可在数轴上取等分点(间距为λ)：…x-2,x-1,x0,x1,x2,….x落在区间[xi,xi+1)的概率为，定义一个新的随机变量X*＝xi，于是1)(iixxdxxp绝对收敛，则称该积分的值为随机变量X的数E(X*)＝iiixxpx}{*ixxiiidxxfx1)(ixxiiidxxfx1)(利用微积分知识得，当λ→0时，有E(X*)→dxxxf)(例6若XU[a,b]，求E(X)。解E(X)＝dxxxf)(badxabx12baE(X)恰好是区间[a,b]的中点，这与E(X)的概率意义相符。例7若X服从参数为θ的指数分布，求E(X)。解E(X)＝dxxxf)(01dxexxθ即指数分布的期望正是它的参数θ。例8若XN（μ,σ2），求E(X)。解E(X)＝dxxxf)(dxexx222)(21tx令dtett222)(21dtet2222dttet22221＝μ×1＋0＝μ即正态分布中的参数μ正好是它的数学期望。例9有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命为Xk，(k=1，2)都服从参数为θ的指数分布，若将这两个电子装置串连组成整机，求整机寿命（以小时计）N的数学期望。分析：先求出N的概率密度，然后计算E(N).二、连续型随机变量函数的数学期望定理设Y是随机变量X的函数，Y＝g(X)(g是连续函数)（1）X是离散型随机变量，它的分布为P{X=xk}=pk，k＝1，2，…，若1)(kkkpxg绝对收敛，则有1)()]([)(kkkpxgXgEYE（2）X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x)，若dxxfxg)()(绝对收敛，则有E(Y)＝E(g(X))＝dxxfxg)()(说明：（1）本定理的重要意义在于当求E(g(X))时，不必先算...