极限与连续整章二版VIP免费

第一章极限与连续•数列的极限•函数的极限•无穷大量与无穷小量•极限的运算法则•二个重要极限•无穷小的比较•函数的连续性•极限概念在经济学中应用1.数列的定义一个定义在正整数集合上的函数(称为整标函数),当自变量按正整数依次增大的顺序取值时，函数值按对应的顺序排成一串数：称为一个无穷数列，简称数列．数列中的每一个数称为数列的项，称为数列的一般项。§1.2.1数列的极限),(,),3(),2(),1(nffffnynf也可表示为),(nny21nyn11nyn22)1(1nny,161,81,41,21.1,45,34,23,2.2,8,6,4,2.31,10,0.4下面我们来看几个无穷数列的例子,先找出它们的通项xxfy21)(xxfy11)(xxfy2)(2)1(1xy截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211X第一天截下的杖长为;212122X为第二天截下的杖长总和;2121212nnXn天截下的杖长总和为第nnX2111我们再来分析一下这几个数列的变化趋势数不趋向于一个确定的常时nyn,)4(数不趋向于一个确定的常时,,)3(nyn0,)1(nyn时1,)2(nyn时nny21nyn11nyn22)1(1nny.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.1nxnnn11)1(1,1001给定,10011n由,100时只要n,100111nxn有,10001给定,1000时只要n,10000111nxn有,100001给定,10000时只要n,1000111nxn有,0给定,])1[(时只要Nn.1成立有nxnxn11定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.数列极限的定义未给出求极限的方法.例.1)1(lim1nnnn证明证1nx1)1(1nnnn1,0任给,1nx要,1n只要,1n或所以,,1]1[N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即注意：说明：•１．数列是一种特殊的函数，以项数为自变量的整标函数．•２．如果一个数列有极限，我们就称此数列是收敛的，否则就称它是发散的３．常数数列的极限为此常数．一自变量趋向无穷大时函数的极限二自变量趋向有限值时函数的极限三极限的性质第二节函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限xxf11)(1例)()(,)(limxAxfAxfx或x11+10xy一般的对于函数和常数A，若时，无限趋近于A，则称A为时函数的极限，记为xx)(xf)(xf)(xf当的绝对值无限增大时(记为)的值无限趋近于1，x)(xfx定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在,M一个正数使得,)(,恒成立时当AxfMx,(*)那末常数A就叫函数)(xf当x时的极限,记作)()()(limxAxfAxfx当或注意：是刻划ƒ（x）与A的接近程度的，是任意给定的，M是随而定的。:.10情形x两种特殊情形:Axfx)(limAxfx)(lim:.20情形xAxfx)(lim:定理.)(lim)(limAxfAxfxx且当沿轴的正向趋向无穷时，函数无限趋近于常数A，则称常数A为+时，函数的极限。记为xx)(xfx)(xf当沿轴的负向趋向无穷时，函数无限趋近于常数A，则称常数A为-时函数的极限。记为xx)(xf)(xfx二、自变量趋向有限值时函数的极限例1函数,由观察可知，当趋近于1（记为1）时，函数的值无限趋近4，我们称4为1时，的极限。记为4)1(2lim)(lim11xxfxx)1(2)(xxfxx)(xf)(xfx8)35(8)(xxf无限接近于0例2的值无限接近8。)(,1,35)(xfxxxf时当换言之，当1时，x（此时可以说8就是1,函数的极限）x)(xf那么8就是当1时，函数的极限)(xfx（此时可以说13就是2时，函数的极限）x)(xf例3=5+3,当2时，的值无限接近13。x)(xfx)(xf13)35(13)(xxf换言之，当2时，x就说当2时，函数的极限是13x)(xf无限接近于0（无限小）定义2如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于适合不等式00xx的一切x,对应的函...