高考数学 立体几何专题复习 人教版 VIP专享VIP免费

立体几何复习专题一、考情分析综观近年高考对立体几何的考查，主要体现了三个特点：1.以选择、填空考查基础知识，如线面关系的判断、体积与面积的计算等，难度中等偏易，分值5～10分左右；2.以解答题的形式考查综合问题，如空间平行与垂直的论证，空间角和距离的求解等，分值为12分；3.无论是大题还是小题，其载体多为棱柱、棱锥、球组合而成的多面体，问题的情境为动态或静态的，背景为综合或交叉的，解题方法是多样化的，重视了传统方法和向量方法的有机结合，相得益彰.二、考题精讲考点１直线与平面该问题主要考查空间中的线线、线面、面面之间的位置关系的判断与证明，以及空间想象能力.例１设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（）A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直B．过直线有且只有一个平面与平面垂直C．与直线垂直的直线不可能与平面平行D．与直线平行的平面不可能与平面垂直解：在这里我们通过观察正方体ABCD-A1B1C1D1进行判断，取BC1为直线，平面ABCD为平面，由AB、CD均与垂直知选项A错；由D1C1与垂直且与平行知选项C错；由平面ADD1A1与平行且与垂直知选项D错，故选B.点评：在解本题时，我们通过借助具体的几何模型进行直观的思考，对于假命题举出反例即可，避免了抽象的空间现象与推理.考点２简单几何体该问题主要涉及到简单几何体的性质以及其面积与体积的求法（包括球的性质、球的面积与体积、球面距离等）.例２若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于(B)ＡＢＣＤ解：如图在三棱柱中，设，由条件有，作于点，则，∴∴，∴，故选B.点评：本题具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键.考点３空间距离与角该问题主要考查三类角（线线角、线面角、二面角），五种距离（点线距、点面距、线面距、线线距、面面距），有关立体几何的解答题中都有此部分的内容.例３如图，为平面，，，AB=5，A、B在棱L上的射影分别为A′、B′，AA′＝3，BB′的大小为，求：⑴点B到平面的距离；⑵异面直线L与AB所成的角（用反三角函数表示）.解：⑴如图，过点B′作直线B′C∥A′A且使B′C=A′A.过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D. AA′⊥L，∴DB′⊥L，又BB′⊥L，∴L⊥平面BB′D，∴BD⊥L.又 BD⊥CB′，∴BD⊥平面α,∴BD的长即为点B到平面的距离. B′C⊥L且BB′⊥L，∴∠BB′C为二面角α-L-β的平面角，∴∠BB′C=.在Rt△BB′D中，=2,∠BB′D=π-∠BB′C=，∴BD=BB′·sinBB′D=.⑵连接AC、BC. B′C∥A′A，B′C=A′A，AA′⊥L，∴A′ACB′为矩形，∴AC∥L，∴∠BAC或其补角为异面直线L与AB△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，由余弦定理，BC=.因BD平面，且DCCA，由三垂线定理得ACBC，∴在△ABC中，∠BCA=，sinBAC=.∴异面直线L与AB所成的角为arcsin.点评：本题考查了立几中的点面距、线线角、二面角等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，解题的关键是线面平行、三垂线定理等基础知识的运用.考点４立体几何综合问题此类问题常以某种几何图形为载体，考查点、线、面的位置关系，求角和距离，求体积、面积和探究有关量的定值、最值问题等.例5如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0