导热微分方程VIP专享VIP免费

第六章导热（ConductionHeatTransfer）主讲：荆海鸥授课班级：成型071－32009年11月主要内容1.导热微分方程的建立和分析2.边界条件和初始条件3.平壁的稳态导热计算单层平壁多层导热4.圆筒壁的稳态导热计算单层圆筒壁多层圆筒壁1导热微分方程的建立和分析①导热微分方程的概念导热微分方程是导热温度场内温度分布的微分形式的数学表达。②建立导热微分方程的必要性傅立叶定律给出了导热量和温度梯度的关系：一维稳态导热可以用傅立叶定律直接求解，多维或非稳态导热的求解必须要首先知道温度场中的温度分布规律才可以求解温度梯度，从而求解导热量的大小。nTA1导热微分方程2|1|21wxxwxxTTTTxTA例如dxAdTcxAT2211cATcTwwATxATTxATWW21ATTWW21分力变量不定积分代入边界条件,求解常数项将常数代入方程两式相减得1导热微分方程③建立导热微分方程的理论依据：能量守恒定律傅立叶定律左图为导热体中的一个微元六面体。设该六面体的材料为：常物性；各向同性；内热源均匀。的热量量＝热量的增量－自生导入的热量－导出的热则在dt时间内：Mdxdydz1导热微分方程设m(x,y,z)点的温度为T。则单位时间内，导入六面体的热量为dxdyzTdxdzyTdydzxTzyxMdxdydzdxdydzzTTzdxdzdyyTTydydzdxxTTxdzzdyydxx)()()(dxdydztTc热量的增量＝设单位时间、单位体积内热源生成的热量为qv,，则dxdydzqv＝微元体内热源的生成热导出热量导入热量1导热微分方程整理得：cqzTyTxTctTv)(2222220222222zTyTxT若为稳态、无内热源时导热微分方程是描述导热过程共性的数学表达式，对于任何导热过程，都是适用的，是求解一切导热问题的出发点。1导热微分方程在圆柱坐标系中：若为一维、稳态、无内热源时cqzTTrrTrrTctTv)11(2222220122rTrrT在球坐标中：1导热微分方程cqTrTrrrTatTv222222sin1)(sinsin1)(若为一维、稳态、无内热源时，方程为：0)(22rrT1导热微分方程有了微分方程，怎样求解？非稳态导热问题的定解条件：①初始条件；②边界条件。定解条件：①初始时刻的温度分布，即初始条件；②物体边界上的温度分布，即边界条件。稳态导热问题的定解条件：边界条件。2初始条件和边界条件①规定了边界上的温度值。②规定了边界上的热流密度值。)(01tfTtcTww时，③规定了边界上物体与流体间的对流换热系数h以及周围流体的温度Tf。)(][01tfnTtcqww时，)(][fwwTThnT导热问题的三类边界条件：3平壁的稳态导热计算大平壁概念厚度<<长和高的尺寸（通常）时，平壁称为大平壁。大平壁导热时，厚度方向的温度变化率>>长和宽度方向的温度变化率，所以忽略边界上长度和宽度方向的导热。工程上很多平壁导热都可以看成是大平壁导热。10,10hL3.1单层平壁的稳态导热计算T022dxTd一维稳态无内热源的导热微分方程为21;0TTxTTx时，时，21cxcT112TxTTT12TTdxdT)/(221mWTTTTxTq积分得温度分布通式边界条件则此时)(21WATTTAARt温度的直线分布规律3.2多层平壁的稳态导热计算根据单层导热可以写出)()()(433332222111TTqTTqTTq整理后两端相加得)/(233221141mWTTq)/(332211WKAAARt热阻各等温面上的q值相等)(33221141WAAATTqA3.2多层平壁的稳态导热若是n层平壁，则)/(2111mWTTqiinii)(111WATTqAiinii小结cqzTyTxTctTv)(2222220222222zTyTxTnTqnTA或)/(2111mWTTqiinin)(111WATTqAiinin...