一次函数与平行四边形1.线段中点公式平面直角坐标系中，点A坐标为(xl,yl),点B坐标为(x2,y2).x+xy+y则线段AB的中点P的坐标为(p2,乜2)2.线段的平移平面内，线段AB平移得到线段A'B',则①AB〃A'B',AB=A'B'；②AA‘〃BB',AA'=BB'.如图，线段AB平移得到线段A'B',已知点A(-2,2),B(-3,-1),B'(3,1),则点A'的坐标是.%例：如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(X4,y4),已知其中3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标例：如图，已知口ABCD中A(-2,2),B(-3,-1),C(3,1),则点D的坐标是,方法一：利用线段平移总结：x1-x2=x4-x3,y1-y2=y4-y3或者x4-x1=x3-x2,y4-y1=y3-y2等方法二：利用中点公式总结：x1+x3=x2+x4,y1+y3=y2+y4如图，在平面直角坐标系中，口的顶点坐标分别为4阳小班旳的h叫吟卜刊口此b已知其中3个顶点的坐标，如甸确定第4个顶点的坐标？方法一：平移法总结-xrx2=.V4-.V3,儿-儿=等方法二：中点公式法总结：叫+y】+_q,两个方法臓表述在本质上是一样的如图，在平面直角坐标系中』口期匸7＞的顶点坐标分别为_彳街讣讣E说莎儿5勺旳卜科b则斤顶点坐标之间的关系是什么？F.V1+AJS=A\H-X4，\j'rt=3\+r4.即平行四边形中「两组相对顶点的横坐标之和招等，纵坐标之和也相等-例1、如图，平面直角坐标中，已知中A(-1,0),B(1,-2),C(3,1),点D是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是总结：三定一动问题,可以通过构造中点三角形得以解决.说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果【例1】一次函数y=x+3与y=-x+q的图象都过点A(m,0),且与y轴分别交于点B、C．(1)试求AABC的面积；(2)点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点D的坐标；(3)过AABC的顶点能否画一条直线，使它能平分△ABC的面积若能，求出直线的函数关系式，若不能，说明理由．【解答】解：(1)将点A(m,0)代入y=x+3中，得m+3=0,解得m=-3,即点A(-3,0)，将点A(-3,0)代入y=-x+q中，得q=-3,・•.点B(0,3)、C(0,-3),故S=2xBCxAO=9；(2)满足条件的D点坐标为D(-3,6)、D(-3,-6)、D(3,0)；(3)若过点A,则得直线l：y=0；若过点C,则得直线l：y=-3x-3；@若过点B,则得直线l：y=3x+3.例2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m(m>0)的图象，直线PB是一次函数y=-3x+n(n>m)的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点.(1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标及ZPAB的度数；(2)若四边形PQOB的面积是*且CQ：AO=1：2,试求点P的坐标，并求出直线PA与PB由｛=—3+得｛4+3，4・••+3)的函数表达式；(3)在(2)的条件下，是否存在一点D,使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)在直线y=x+m中，令y=0,得乂=-皿.・••点A(-m，0).在直线y=-3x+n中，令y=0,得=y.•:点B(丁，0).在直线y=x+m中，令x=0，得y=m.|-m|=|m|，即有A0=Q0.又VZAOQ=90°，•••△A0Q是等腰直角三角形,•ZPAB=45°.(2)TCQ：AO=1：2，•(n-m)：m=1：2，整理得3m=2n，•3..n=聲，+32+39•=2=m，448而S=S-S=1(—+m)X(9m)一1xmXm=11m2=黑四边形PQOB△PAB△AOQ2382322解得m=±4,•.•m>0,•m=4，3•n=2m=6,•yBD3=X-2-同理可得yAD3=-3X-12{=—3—2—12,5-295-1・・・P(2,•PA的函数表达式为y=x+4,PB的函数表达式为y=-3x+6.(3)存在.过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1,过点A作BP的平行线交PM于点D2,过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点必.①...PD〃AB且BD〃AP,11•••PABD]是平行四边形.此时PD]=AB，易得i(#,9)；②TPD〃AB且AD〃BP,22.•・PBAD2是平行四边形.此时PD2=AB,易得2(—#，9)；③•・•BD3〃AP且AD3〃BP,此时BPAD3是平行四边形.•BD〃AP且B(2,0),33.如图，在等边AABC中，BC=8cm,射线AG〃BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s).(1)连接EF,当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE9ACDF；(2)填空：#①当t为s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形；...
