第1章差分方程和滞后算子第一节差分方程一．一阶差分方程假定期的（输出变量）和另一个变量（输入变量）和前一期的之间存在如下动态方程：（1）则此方程为一阶线性差分方程，这里假定为一个确定性的数值序列。差分方程就是关于一个变量与它的前期值之间关系的表达式。一阶差分方程的典型应用为美国货币需求函数：其中为货币量，为真实收入，为银行账户利率，为商业票据利率。1）用递归替代法解差分方程根据方程（1），可以得到（2）如果我们知道期的初始值和的各期值，则可以通过动态系统得到任何一个时期的值。即（3）这个过程称为差分方程的递归解法。2）动态乘子：对于方程（3），如果随变动，而都与无关，则对得影响为：或（4）方程（4）称为动态系统的乘子，或脉冲响应函数（即暂时性影响）。动态乘子依赖于，即输入的扰动和输出的观察值之间的时间间隔。对于方程（1），当时，动态乘子按几何方式衰减到零；当，动态乘子振荡衰减到零；，动态乘子指数增加；，动态乘子发散性振荡。因此，，动态系统稳定，即给定的变化的后果将逐渐消失。，系统发散。当时，此时，即输出变量的增量是所有输入的历史值之和。1如果产生持久性变化，即都增加一个单位，此时持久性影响为：（5）当时，且是，持久性影响为（6）如果考察的一个暂时性变化对输出的累积性影响，则和长期影响一致。二．阶差分方程如果动态系统中的输出依赖于它的期滞后值以及输入变量：（7）此时可以写成向量的形式，定义，，从而（7）写成向量形式：（8）这个系统由个方程组成。为了便于处理，将阶数量系统变成一阶向量系统。还可以采用滞后算子的办法来处理这个系统。0期的值为：1期的值为：期的值为：写成和的形式为：（9）该系统中的第一个方程代表了的值。令表示中第个元素，表示中第个元素等等。于是的值为：2（10）或（11）表示成初始值和输入变量历史值的函数。此时阶差分方程的动态乘子：（12）是的元素。因此对于任何一个阶差分方程，，（13）对于更大值，通过分析表达式（12）就非常有用。通过矩阵的特征根地进行求解。矩阵的特征根为满足下式的值：（14）对于一个阶系统，行列式（14）为特征根的阶多项式，多项式的个解是的个特征根。定理1：矩阵的特征根由满足下式的值组成：（15）1．具有相异特征根的阶差分方程的通解此时存在一个阶非奇异矩阵，满足（16）其中是一个矩阵，主对角线由得特征根组成，其它元素为零，即3（17）令表示的第行、第列的元素，表示的第行、第列的元素。因此方程为：（18）因此的第个元素为：（19）或者（20）其中。因为。将（20）代入（12），得到阶差分方程的动态乘子：（21）定理2：如果矩阵的特征值是相异的，则（22）因此求出的特征值，就可以求出相应的，由此就可以根据（21）计算得到动态乘子。4如果所有的特征值都是实根。如果存在一个特征根的绝对值大于1，则系统是发散的。根据（21），我们发现动态乘子最终由绝对值最大的特征根的指数函数决定。5第二节滞后算子一．滞后算子定义：假定由序列生成新序列。其中期的值等于时期的值，，这称为对运用了滞后算子，即这里的称为滞后算子。根据滞后算子，。通常情况下由于利用滞后算子和乘法具有同样的代数规则，因此常称为乘以。二．一阶差分方程利用滞后算子，可得（23）整理得到（24）（3）两边同时乘以，得到（25）即（26）可见利用滞后算子和递归方法得到的结果相同。当，很大时，根据（4）（27）有界序列：对于序列，如果存在一个有限数，使得对所有的则称该序列有界。在随机序列情况下，有界序列转为平稳随机过程。当，对有界序列使用滞后算子，则由（6），近似为的逆。算子称为恒等算子，即。在有界序列或平稳随机过程情况下，对于，两边同时除以，得或（28）三．二阶差分方程利用滞后算子形式可得（29）对于滞后算子，6（30）给定的值，建立方程组（31）即能求出。即求解特征方程。此时，令特征方程左右两侧为零，可得和。定理3：将分解成得到的和矩阵的特征值相同。这里二阶差分方程矩阵表示为：（32）根据第一节讨论，任意特征值都小于1，系统才是稳定的。只要存在一个特征值的模大于1，系统就是发散的。通常有两种...
