量子力学第2章-定态薛定谔方程VIP免费

第二章定态薛定鄂方程（一）定态Schrdingerö方程，定态（二）能量本征值方程（三）求解定态问题的步骤（四）定态的性质（五）如何由定态得到一般解（一）定态Schrdingerö方程，定态),()](2[),(22trrVtrti)()(),(tfrtr)(]2)[()()(22rVtftfdtdri讨论有外场情况下的Schrödinger方程：E)()(]2[)()(22rErVtEftfdtdi令：/~)(iEtetfEtiertr)(),(于是：V(r)与t无关时，可以分离变量代入)(]2[)(1)()(122rVrtfdtdtfi)()(tfr两边同除等式两边是相互无关的物理量，故应等于与t,r无关的常数此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。由deBroglie关系可知：E就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。Etiertr)(),(空间波函数ψ(r)由方程)()(]2[22rErV和具体的边界条件所确定。该方程称为定态Schrödinger方程。（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物理方法中的本征值方程相同。数学物理方法中：微分方程+边界条件构成本征值问题；EHˆEV]2[2或（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量E称为算符H的本征值；Ψ称为算符H的本征函数。（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。（二）能量本征值方程（三）求解定态问题的步骤讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数Ψ(r,t)和在这些态中的能量E。其具体步骤如下：)()(]2[22rErV,,,,,,,2121nnEEE，本征函数本征值：]/exp[)(),(tiErtrnnn1|)(|2drCnn（1）列出定态Schrodinger方程（2）根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得：（3）写出定态波函数即得到对应第n个本征值En的定态波函数（4）通过归一化确定归一化系数Cn（四）定态的性质（2）几率流密度与时间无关nnntr),(][2),(nnnnnitrJ（1）粒子在空间几率密度分布与时间无关)]/exp([)]/exp([tiEtiEnnnn)/exp()/exp(tiEtiEnnnn)()(rrnn)]/exp()/exp()/exp()/exp([2tiEtiEtiEtiEinnnnnnnn)]()()()([2rrrrinnnn)(rJn4.能量本征函数是完备的正交归一系可以证明（以后证明）常量（不随时间变化）dxxxixQxdxtxxixQtxpxQnnnn)()/,()(),()/,(),(),(**mnnmdrrr)()(*0px常量)(),(),(/xectxctxnnntiEnnnn（3）处于定态时力学量（不显含时间）的期待值是常数推论正交归一性薛定鄂方程的通解可以用定态波函数的叠加表示为其中展开系数由初始条件定)()0,()0,(xcxcxnnnnnn由定态波函数的正交归一性dxxxcn)0,()(*我们来求处在),(txnnnnnnnnmnmmmntiEtiEmmnmnmntiEtiEmnmnmntiEtiEEcEccEcceedxxExcceedxxHxcceedxtxHtxHmnmnmn2**//**//**//*)()()()(),(),(nnnnnnmnmmntiEtiEmnmnmntiEtiEmnmnmntiEtiEccccceedxxxcceedxxxcceedxtxtxmnmnmn2**//**//**//*)()()()(),(),(1能量的期待值我们在来看),(tx的归一化从上面两个式子可以看出，2nc),(txnE具有几率的概念，当对测量能量时，测到的几率是2nc也可以说体系是部分地处于,...,...,21n态，各个态出现的几率分别是,..,...,,22221nccc需要注意的是，尽管...