专题五相似三角形的综合应用一、相似三角形与圆的知识的综合教材母题(教材P58第8题)如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P，求证：PC2＝PA·AB.解：如图，连接AC，BC， AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又 AB⊥CD，∴∠APC＝∠CPB＝90°，∴∠CAP＋∠ACP＝90°，∠BCP＋∠ACP＝90°，∴∠CAP＝∠BCP，∴△PCA∽△PBC，∴PCPB＝PAPC，∴PC2＝PA·PB【规律与方法】证明等积式或者比例式的一般方法为：把等积式或者比例式中的四条线段分别看做两个三角形的对应边．然后，通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证明的等积式或比例式．特别地，当等积式中的线段的对应关系不容易看出时，也可以把等积式转化为比例式，相似三角形与圆综合通常涉及到利用同弧(等弧)所对的圆周角相等、切线的性质、直径所对的圆周角为直角等知识来构造三角形相似从而解决问题变式1.(2014·陕西)如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB＝6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)求AC的长．解：(1)证明：连接OD， BD是O⊙的切线，∴OD⊥BD， AC⊥BD，∴OD∥AC，∴∠2＝3∠， OA＝OD，∴∠1＝3∠，∴∠1＝2∠，即AD平分BAC∠(2)解：ODAC ∥，∴△BOD∽△BAC，∴ODAC＝BOBA，∴4AC＝610，解得：AC＝203变式2.如图，BD是⊙O的直径，A，C是⊙O上的两点，且AB＝AC，AD与BC的延长线交于点E.(1)求证：△ABD∽△AEB；(2)若AD＝1，DE＝3，求BD的长．解：(1)证明：AB ＝AC，∴AB︵＝AC︵.ABC∴∠＝ADB∠，又BAE ∠＝DAB∠，∴△ABD∽△AEB(2)ABD △∽AEB△，∴ABAE＝ADAB， AD＝1，DE＝3，∴AE＝4，∴AB2＝AD·AE＝1×4＝4，∴AB＝2， BD是O⊙的直径，∴∠DAB＝90°，在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2＝22＋12＝5，∴BD＝5二、相似三角形与四边形知识的综合变式3.(2014·泰安)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.(1)求证：ABAE＝ACAD；(2)若AB⊥AC，AE∶EC＝1∶2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．解：(1)AB ＝AD，∴∠ADB＝ABE∠，又ADB ∠＝ACB∠，∴∠ABE＝ACB∠，又BAE ∠＝CAB∠，∴△ABE∽△ACB，∴ABAE＝ACAB，又AB ＝AD，∴ABAE＝ACAD(2)设AE＝x， AE∶EC＝12∶，∴EC＝2x，由(1)得：AB2＝AE·AC，∴AB＝3x，又BAAC ⊥，∴BC＝23x，∴∠ACB＝30°， F是BC中点，∴BF＝3x，∴BF＝AB＝AD，又ADB ∠＝ACB∠＝ABD∠，∴∠ADB＝∠CBD＝30°，∴AD∥BF，∴四边形ABFD是平行四边形，又AD ＝AB，∴四边形ABFD是菱形．变式4.(2014·柳州)如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.(1)求线段PQ的长；(2)问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．(1)由题意得：PD＝PE，∠DPE＝90°，∴∠APD＋QPE∠＝90°， 四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，∴∠ADP＋APD∠＝90°，∴∠ADP＝QPE∠， EQ⊥AB，∴∠A＝Q∠＝90°，又PD ＝PE，∴△ADP≌△QPE(AAS)，∴PQ＝AD＝1.(2)PFDBFP △∽△，∴PBBF＝PDPF， ∠ADP＝EPB∠，∠CBP＝A∠，∴△DAP∽△PBF，∴PDPF＝APBF，∴APBF＝PBBF，∴PA＝PB，∴PA＝12AB＝12，∴当PA＝12时，△PFD∽△BFP.变式5.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁片备用，当截取的矩形面积最大时，求矩形两边长x，y.解：作DEBC⊥于E.FGDE ∥，∴△CFG∽△CDE，∴CGCE＝FGDE，∴24－y24－8＝x20，∴y＝－45x＋24.S∴矩形＝xy＝x(－45x＋24)＝－45x2＋24x＝－45(x－15)2＋180. a＜0，∴当x＝15时，S矩形最大为180，此时y＝12，即当x＝15，y＝12时，矩形面积最大．三、相似三角形的存在性问题变式6.(2014·东营)如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线BC交于点D(3，－4)．(1)求直线BD和抛物线的解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角...
