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数学思想专项训练(一)函数与方程思想方法概述适用题型函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方程的思想在解题中的应用十分广泛，主要有以下几种类型：(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.一、选择题1．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是[2,3]，则不等式x2－bx－a<0的解集是()A．(－3，－2)B．(－∞，－3)∪(－2，＋∞)C．(－，－)D．(－∞，－)∪(－，＋∞)解析：选C由题意知方程ax2－bx－1＝0的根分别为x1＝2，x2＝3，所以由根与系数的关系得2＋3＝5＝，2×3＝6＝－，解得a＝－，b＝－，则不等式x2－bx－a<0即为x2＋x＋<0，解得－f(2)＝>0，因此g(0)0，此时方程有两个不等实根，且两个实根的积等于<0，方程恰有一正、一负的实根，可知方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根；另一方面，由方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根不能推知a<0，如当a＝1时，方程ax2＋2x＋1＝0，即(x＋1)2＝0满足至少有一个负数根．综上所述，“a<0”是“方程1ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．4．设a>1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a的取值的集合为()A．{a|11，由此解得a≥2.5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a5－1)3＋2012·(a5－1)＝1，(a2008－1)3＋2012(a2008－1)＝－1，则下列结论正确的是()A．S2012＝2012，a2008a5C．S2012＝－2012，a2008a5解析：选A结合等式的结构形式，构造函数f(x)＝x3＋2012x，因为f′(x)＝3x2＋2012的值恒大于0，所以函数f(x)是R上的增函数．因为f(a5－1)>f(a2008－1)，所以a5－1>a2008－1.所以a20080恒成立，所以x＋y＝0，即a5＋a2008＝2.所以S2012＝＝＝2012.二、填空题6．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．解析：只需求(x＋y)的最小值大于等于9即可，又(x＋y)·＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以()2＋2＋1≥9，即()2＋2－8≥0得≥2或≤－4(舍)，所以a≥4，即a的最小值为4.答案：47．若关于x的方程(2－2－|x－2|)2＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是________．解析：令f(x)＝(2－2－|x－2|)2，要使f(x)＝2＋a有实根，只需2＋a是f(x)的值域内的值即可． f(x)的值域为[1,4)，∴1≤a＋2<4，∴－1≤a<2.答案：[－1,2)8．已知函数f(x)＝，a∈R，若方程f2(x)－f(x)＝0共有7个实数根，则a＝________.解析：由f2(x)...