古代鸡兔同笼问题及多种算法今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？题目中给出了鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24÷2=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为x，鸡的数量为y那么：x+y=35那么4x+2y=94这个算方程解出后得出：兔子有12只，鸡有23只。“鸡兔同笼”问题，是我国古代著名数学趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》里记载了这个有趣的问题：“今有雉（鸡）兔同笼，上（共）有三十五头，下（共）有九十四足，问雉兔各几何？”从代数学科的角度看来，这是一个解方程组的问题，其解法非常简单，方法容易掌握。由于我国古代没有代数方法，对一些算题，采用的都是因题而异，个性特强的巧妙解法。今人把这种代数方法（设未知数、列方程）之外的算术解法统称为古算法。我国历来对诗歌追崇简练优美，对古算法也一样。一个巧妙精简的解法，往往受到众人的推崇，称赞其解者聪明，而对其他较繁杂的解法，统统嗤之以鼻。今天看来，这是不对的。我们要知道，这种古算法看似简单漂亮，构思巧妙，但缺点是就题论题，其方法适用面窄，学生也不易掌握，只能是解者孤芳自赏。明明有车不让上，偏偏要人徒步行。也许有人会说，这是为了培养学生的思维方法。但我们觉得，这样培养出来的思维方法，往往不适应现代计算机的逻辑和特点，也与现代的科学实验方法格格不入。要求中小学生都去掌握，实是得不赏失。多年来，情况越来越糟，有些想露一手的教师反而把一些原属于不定方程组的问题，退化变形为算术题，让学生去钻牛角尖，实是误人子弟。笔者认为对古算题，应该像对古诗、棋类一样，只可以让少数人去欣赏去钻研，不应强求所有人掌握，要提倡数学中的“白话文”。实际上，作为培养学生的思维方法，除了代数方法之外，还有一些思路自然又易掌握的好解法，尽管它比较繁琐，不怎么漂亮，但它的思维与现代科学比较合拍。至于它的步骤繁琐这一问题，在当今计算机时代则已不是什么问题，反而是一个优点。笔者这里要谈一个思路自然比较容易掌握，而又有现代色彩的方法——“先试验后修正法”。对于古算题，这个方法是先强行去掉（隐去）一些未知元，化为一个较简单的问题，求出其“参考解”，然后依靠这个“参考解”逐步去逼近真正的解。这种思维方法在现代科学和现代技术里，已被证明是最普遍使用，最先试用，而且往往是有效的科研方法。下面就几个古算题，来介绍这种“先试验后修正法”（下面简称“另法”），每道题只给出这种“先试验后修正法”。至于该题可能有的，个性特强的巧妙古算解法，因在别的地方可以找到，又不是这里的话题，就不再写出。考虑到谈这些，学术性强，比较乏味，放在博客里不太合适，这里只谈极少数几个例题。题1。“鸡兔同笼”问题。有若干只鸡兔同处一个笼子，从上面数有35个头；从下面数有94只脚。问笼中各有几只鸡和几只兔？解（另法）。用“先试验后修正法”。先任意设定鸡兔的只数来试验，只要总数是35即可。为了减少计算步骤，居于鸡兔脚数比例是1:2，我们粗约设鸡和兔分别是20只和15只。这时共有100只脚（式2x20+4x15=100），比题意多出6只脚。因1只兔换成1只鸡可减少2只脚，3只兔换成3只鸡就合题意（式6/2=3)，故题解是23只鸡和12只兔（...
