数理方程课程总结 (精简)VIP免费

1考试时间：5月12日上午(第十三周周一)考前集中答疑安排：地点：科技楼南楼602（应用数学系办公室）时间：5月11日全天2第2章主要内容1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：(适用有界区域、两个变量)分离变量法、固有函数法、作辅助函数法方程和边界条件齐次方程非齐次，定解条件齐次边界条件非齐次3几种常见的固有函数系的形式;0),(,0),0(tlutu(1));,2,1(sinnlxn;0),(,0),0(tlutux(2));,2,1(2)12(sinnlxn;0),(,0),0(tlutux(3));,2,1(2)12(cosnlxn;0),(,0),0(tlutuxx(4));,2,1,0(cosnlxn以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和矩形域上的泊松方程是适用的。圆域上的泊松方程对应的固有函数系为,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1nn(5)4;)(),(),(),0(21tutlututu);(),(),(),0(21tutlututux);(),(),(),0(21tutlututux(4)(3)(2)(1));(),(),(),0(21tutlututuxx).()(),(12tuxtutxw).()()(),(121tlutuxtutxw.)(2)()(),(1212xtuxltututxw).()]()([),(112tututulxxtw几种非齐次边界条件相应的辅助函数),(txw的表达式：以上4种辅助函数的情形对一维波动方程和一维热传导方程都适用。).()(),(12tuxtutxw注意特殊情形：课件中2.5节的例2’52.对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言：●;0,0byax对圆域采用极坐标●对于矩形域采用直角坐标系用分离变量法第2章主要内容63.对于二维泊松方程的边值问题而言：),,(112rFurururrr),0(0rr).(|0furr(P)),,(rw),,(),(),(rwrvru,0112vrvrvrrr),0(0rr).,()(|00rwfvrr(Q)思路1(1)找出此泊松方程的一个特解令(2)将泊松方程化成拉普拉斯方程可用分离变量法求解问题(Q)第2章主要内容3.对于二维泊松方程的边值问题而言：),,(112rFurururrr),0(0rr).(|0furr(P)),,(),(),(rwrvru思路2将问题(P)的解看成两部分，令),(rv),(rw和分别满足第2章主要内容83.对于二维泊松方程的边值问题而言：),,(112rFurururrr),0(0rr).(|0furr(P)),,(112rFvrvrvrrr),0(0rr.0|0rrv(P1),0112wrwrwrrr),0(0rr).(|0fwrr(P2)和固有函数法分离变量法第2章主要内容9第5章主要内容(贝塞尔函数的应用)分离变量法的想法1.n阶贝塞尔方程的固有值问题n阶贝塞尔方程的通解可表示为),()()(rDYrCJrFnnrRJrFnmnm)()().,2,1(m,)()(2Rnmnm固有值和固有函数分别为0)(RF,0)(222FnrFrFr,|)0(|F(33)(32)10第5章主要内容),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJxxJxdxdnnnn(25)(26)2.n阶贝塞尔函数的递推公式),(2)()(11xJxnxJxJnnn).(2)()(11xJxJxJnnn(27)(28)).()(01xxJxxJdxd);()(10xJxJ特别的，(29)11第5章主要内容3.傅里叶-贝塞尔级数.)(2)()(2120)(nmnRnmnmJRdrrRJrrfCmC,)()(1rRJCrfnmnmm(42)其中系数由下式确定(43)4.贝塞尔函数的应用(分离变量法)，书上例子12),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)2)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)1无限长弦自由振动问题的达朗贝尔解为公式).()(),(atxgatxftxu(13)其中方程(3)的通解形式为行波法或达朗贝尔解法第3章主要内容(适用无界区域)132无限长弦强迫振动问题的解为公式),0,(),(2txtxfuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(1)(2)2)()(),(atxatxtxuatxatxda)(21(26)..),(210)()(ttaxtaxddfa第3章主要内容3.会应用傅氏变换和拉氏变换求解定解问题书上例子很重要14书上例子中出现的傅里叶变换或逆变换)]()([21][cos1axaxaF)]()([21][sin1axaxiaFmxmF|,2...