（献给高三的学子）利用递推关系求数列通项的九种类型及解法VIP免费

理科教练祝愿孩子们学习进步利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如型（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由得：时，，，所以各式相加得即：.为了书写方便，也可用横式来写：时，，=.例1.（2003天津文）已知数列｛an｝满足,证明证明：由已知得：=.例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.1/16)(1nfaanndaann1nadna)1(1)(1nfaann2n)1(1nfaann)2(21nfaann)2(23faa)1(12faa)1()2()2()1(1ffnfnfaan111)(nknkfaa2n)1(1nfaann112211)()()(aaaaaaaannnnn1)1()2()2()1(affnfnf)2(3,1111naaannn213nna故,311nnnaa112211)()()(aaaaaaaannnnn.213133321nnn213nnana*12()nnaannNna理科教练祝愿孩子们学习进步答案：例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式.答案：评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例4.已知数列中,且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则此题也可以用数学归纳法来求解.2.形如型（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.由得时，，=f(n)f(n-1).2/1612nn}{na31a)2()1(11nnnaannnan12aa1)(1nfaannna}{na0na)(21nnnanaS}{na)(21nnnanaS)(2111nnnnnSSnSSSnSSnn212nSSn3221211aS11a2)1(2nnSn0na2)1(2nnsn2)1(2)1(2nnnnan)(1nfaannqaann1na11nqa)(1nfaann2n)1(1nfaann112211aaaaaaaannnnn1)1(af理科教练祝愿孩子们学习进步例1.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1),即时，==.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.例2.已知,求数列{an}的通项公式.解：因为所以故又因为,即，所以由上式可知,所以,故由累乘法得=所以-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.3.形如型（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两3/16na011221nnnnaanaannna0)1()(11nnnnnaanaa0na*Nn01nnnaa11nnaann2nnnaann11112211aaaaaaaannnnn121121nnnnn1na1nana1nana1,111annaann,11nnaann,11nnaann),1(11nnana11a011a01nanaann111)1(11111111111223211aaaaaaaaaannnnn)1()!1()1(12)2()1(11anannna)1()!1(1an,11nnaann),1(11nnana1nnabnnnbb1)(1nfaanndaann1na)(1nfaann理科教练祝愿孩子们学习进步式相减)得，，分奇偶项来分求通项.例1.数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.分析1：构造转化为型解法1：令则.时,各式相加:当n为偶数时，.此时当n为奇数时，此时,所以.故解法2：时，，两式相减得：.构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列4/16)1()(11nfnfaannna01anaann21...