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第4章数学规划模型在上一章中我们看到,建立优化模型要确定优化的目标和寻求的决策。用x表示决策变量,)(xf表示目标函数。实际问题一般对决策变量x的取值范围有限制,不妨记作x∈Ω,Ω称为可行域。优化问题的数学模型可表示为xxfMaxMin),()(或Ω在第3章x通常是1维或2维变量,Ω通常是1维或2维的非负域。实际中的优化问题通常有多个决策变量,用n维向量Tnxxxx),,,(21表示,目标函数)(xf是多元函数,可行域Ω比较复杂,常用一组不等式(也可以有等式))(xgi≤0(i=1,2,⋯,m)来界定,称为约束条件。一般地,这类模型可表述成如下形式zMinx)(xfs.t.)(xgi≤mi,,2,1,0这里的s.t.(subjectto)是“受约束于”的意思。显然,上述模型属于多元函数的条件极值问题的范围,然而许多实际问题归结出的这种形式的优化模型,其决策变量个数n和约束条件个数m一般较大,并且最优解往往在可行域的边界上取得,这样就不能简单地用微分法求解,数学规划是解决这类问题的有效方法。需要指出的是,本章无意涉及数学规划(或运筹学)的具体计算方法,仍然着重于从数学建模的角度,介绍如何建立若干实际优化问题的模型,并且在用现成的数学软件求解后,对结果作一些分析。4.1奶制品的生产和销售企业内部的生产计划有各种不同的情况。从空间层次来看,在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件,以最大利润为目标制订产品的生产计划,在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等,以最小成本为目标制订生产批量计划。从时间层次看,若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化,可制订单阶段生产计划,否则就要制订多阶段生产计划。本节选择几个单阶段生产计划的实例,说明如何建立这类问题的数学规划模型,并利用软件求解的输出对结果作一些分析。例1加工奶制品的生产计划问题一奶制品加工厂用牛奶生产21,AA两种奶制品,1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤1A,或者在设备乙上用8小时加工成4公斤2A。根据市场需求,生产的1A,2A全部能售出。且每公斤1A获利24元,每公斤2A获利16元。现在加工厂每天得到50桶牛奶的供应,每天正式工人总的劳动时间为480小时,并且设备甲每天至多能加工100公斤1A,设备乙的加工能力没有限制。试为该场制订一个生产计划,使每天获利最大,并进一步讨论以下3个附加问题:1)若用35元可以买到1桶牛奶,应否作这项投资?若投资,每天最多购买多少桶牛奶?2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间,付给临时工人的工资最多是每小时几元?3)由于市场需求的变化,每公斤1A的获利增加到30元,应否改变生产计划?问题分析这个优化问题的目标是使每天获利最大,要作的决策是生产计划,即每天用多少桶牛奶生产1A,用多少桶牛奶生产2A(也可以是每天生产多少公斤1A,多少公斤2A),决策受到3个条件的限制:原料(牛奶)供应、劳动时间、设备甲的加工能力。按题目所给,将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来,就可得到下面的模型。基本模型决策变量:设每天用1x桶牛奶生产1A,用2x桶牛奶生产2A。目标函数:设每天获利为z元。1x桶牛奶可生产31x公斤1A,获利24×31x,2x桶牛奶可生产42x公斤2A,获利16×42x,故216472xxz。约束条件:原料供应生产1A,2A的原料(牛奶)总量不得超过每天的供应,即21xx≤50桶;劳动时间生产1A,2A的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间,即21812xx≤480小时;设备能力1A的产量不得超过设备甲每天的加工能力,即13x≤100;非负约束1x,2x均不能为负值,即1x≥0,2x≥0综上可得Max216472xxz(1)s.t.21xx≤50(2)21812xx≤480(3)13x≤100(4)1x≥0,2x≥0(5)这就是该问题的基本模型。由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的,所以称为线性规划(LinearProgramming,简记作LP)。模型分析与假设从本章下面的实例可以看到,许多实际的优化问题的数学模型都是线性规划(特别是在像生产计划这样的经济管理领域),这不是偶然的。让我们分析一下线性规划具有哪些特征,或者说:实际问题具有什么性质,其模型才是线性规划。·比例性每个决策变量对目标函数的“贡献”,与该决策变量的取值成正比;每...

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