--数学规划模型-姜启源VIP专享VIP免费

第4章数学规划模型在上一章中我们看到，建立优化模型要确定优化的目标和寻求的决策。用x表示决策变量，)(xf表示目标函数。实际问题一般对决策变量x的取值范围有限制，不妨记作x∈Ω，Ω称为可行域。优化问题的数学模型可表示为xxfMaxMin),()(或Ω在第3章x通常是1维或2维变量，Ω通常是1维或2维的非负域。实际中的优化问题通常有多个决策变量，用n维向量Tnxxxx),,,(21表示，目标函数)(xf是多元函数，可行域Ω比较复杂，常用一组不等式（也可以有等式）)(xgi≤0(i=1,2,⋯,m)来界定，称为约束条件。一般地，这类模型可表述成如下形式zMinx)(xfs.t.)(xgi≤mi,,2,1,0这里的s.t.(subjectto)是“受约束于”的意思。显然，上述模型属于多元函数的条件极值问题的范围，然而许多实际问题归结出的这种形式的优化模型，其决策变量个数n和约束条件个数m一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不能简单地用微分法求解，数学规划是解决这类问题的有效方法。需要指出的是，本章无意涉及数学规划（或运筹学）的具体计算方法，仍然着重于从数学建模的角度，介绍如何建立若干实际优化问题的模型，并且在用现成的数学软件求解后，对结果作一些分析。4．1奶制品的生产和销售企业内部的生产计划有各种不同的情况。从空间层次来看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。本节选择几个单阶段生产计划的实例，说明如何建立这类问题的数学规划模型，并利用软件求解的输出对结果作一些分析。例1加工奶制品的生产计划问题一奶制品加工厂用牛奶生产21,AA两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤1A，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤2A。根据市场需求，生产的1A，2A全部能售出。且每公斤1A获利24元，每公斤2A获利16元。现在加工厂每天得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤1A，设备乙的加工能力没有限制。试为该场制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：1)若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3)由于市场需求的变化，每公斤1A的获利增加到30元，应否改变生产计划？问题分析这个优化问题的目标是使每天获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产1A，用多少桶牛奶生产2A（也可以是每天生产多少公斤1A，多少公斤2A），决策受到3个条件的限制：原料（牛奶）供应、劳动时间、设备甲的加工能力。按题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到下面的模型。基本模型决策变量：设每天用1x桶牛奶生产1A，用2x桶牛奶生产2A。目标函数：设每天获利为z元。1x桶牛奶可生产31x公斤1A，获利24×31x，2x桶牛奶可生产42x公斤2A，获利16×42x，故216472xxz。约束条件：原料供应生产1A，2A的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即21xx≤50桶；劳动时间生产1A，2A的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即21812xx≤480小时；设备能力1A的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即13x≤100；非负约束1x,2x均不能为负值，即1x≥0,2x≥0综上可得Max216472xxz(1)s.t.21xx≤50(2)21812xx≤480(3)13x≤100(4)1x≥0,2x≥0(5)这就是该问题的基本模型。由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的，所以称为线性规划（LinearProgramming,简记作LP）。模型分析与假设从本章下面的实例可以看到，许多实际的优化问题的数学模型都是线性规划（特别是在像生产计划这样的经济管理领域），这不是偶然的。让我们分析一下线性规划具有哪些特征，或者说：实际问题具有什么性质，其模型才是线性规划。·比例性每个决策变量对目标函数的“贡献”，与该决策变量的取值成正比；每...