第五章比率估计与回归估计VIP免费

02468101214161850-6070-8090-1000%5%10%15%20%25%30%35%`第五章比率估计与回归估计2本章要点本章讨论了简单随机抽样和分层随机抽样下比率估计量和回归估计量的构造及性质。要求：①掌握总体比率、比率估计量及回归估计量的概念。②了解比率估计量、回归估计量的偏倚、方差及方差的估计量。③掌握应用比率估计量及回归估计量的条件。3第一节问题的提出在许多实际问题中常常涉及两个调查变量（指标）Y和X。对于包含个抽样单元的总体除了对总体信息进行估计外，常常要估计总体比率R。总体比率在形式上总是表现为两个变量总值或均值之比。在涉及两个变量的抽样调查中，有两种情况需要应用比率估计量。一种情况是利用双变量样本对总体比率进行估计需应用比率估计量，此时两个变量均为调查变量。另一种情况是一个变量为调查变量，另一个变量表现为与调查变量有密切关系的辅助变量，在对调查变量总体总值、总体均值等目标量进行估计时，利用已知的辅助变量信息构造比率估计量可以改进估计的精度。基于这种考虑利用已知的辅助变量信息构造比率估计量就可使估计精度加以改进。4第二节比率估计第二节比率估计一、比率估计量设对有两个调查变量Y和X的总体进行简单随机抽样，分别以y，x表示样本总值，以表示样本均值，以为样本比率，用作为总体比率R的估计称为的比率估计。比率估计量除了使用调查变量样本信息外，还要使用辅助变量总体信息与样本信息，而且是非线性估计量。这类估计量称为复杂估计量。由于比率估计量使用的信息比简单估计量多，因而有可能比简单估计量有更高的精度。同时由于比率估计量是非线性估计量，因而对其性质的研究比对简单估计量要复杂得多。,yxˆyyRxxˆR5二、比率估计量的偏倚与均方误差比率估计量是有偏估计量，但当样本量增大时其偏倚将趋于零。理论上可以证明，分别为的近似无偏估计量,而且对于比率估计量，其方差主要取决于与之间的差异，当时，估计量方差将很小。换言之，比率估计量将有很高的精度。这告诉我们，只有当两个变量大致成正比例关系时，应用比率估计量才能使估计精度有较大改进。ˆˆ,,RRRyY,,RYYiYiRXiiYRX6三、比率估计量方差的估计与置信区间对于一般的n，比率估计量呈右偏分布，只有当n＞30,＜0.1,＜0.1这些条件同时满足时才能直接用正态分布构造置信区间。R的置信区间为[]其中是标准正态分布的上α/2分位点，0＜α＜1。类似可得、Y的置信区间。xCyC22ˆˆˆˆ[(),()]RuseRRuseRY2u7案例一在某地区抽取由33个住户组成的简单随机样本，对每户调查两个指标：ix——第i户人口数，iy——第i户一天用于食品支出的费用，经计算得331iix＝123331iiy＝907.23321iix＝5333321iiy＝28224331iiiyx＝3595.5试估计该地区平均每人一天用于食品的支出，并求其置信水平95％的置信区间。8解答过程设该地区共有N户，要估计的是11NiiNiiYRX，ˆR＝331331907.2123iiiiyx＝7.33N很大，nfN≈0，2ˆ()vR＝21fnx21ˆ()1niiiyRxn＝22221111ˆˆ(2)(1)()nnniiiiniiiiinyRxRyxnx将n=33,ˆR=7.33及3321iiy＝28224，3321iix＝533，331iiiyx＝3595.5代入得2ˆ()vR＝0.285156，se(ˆR)=ˆ()vR=0.5341-=0.95,u2=1.96,[ˆR－u2se(ˆR),ˆR+u2se(ˆR)]=[6.28,8.38]故该地区人均每天食品支出7.33元，区间估计为[6.28,8.38]元。9案例二某系统有56个企业，去年全系统总产值86436万元。为估计今年总产值，当年年底在所辖全部企业中随机抽取12个企业进行调查得如下资料，其中ix，iy分别为去年和当年产值。表5－312个企业两年产值企业123456789101112ix764164295713242131117616181532834143217281214iy8531835102815122286135418261721958164819041534试估计今年总产值，并给出标准差的估计。10解答过程以去年产值变量为辅助变量构造比率估计量计算可得121iix＝16352，1221iix＝24043730，x＝1362.67，121iiy＝18459，1221iiy＝30405031，y＝1538.25，121iiiyx＝27016552ˆRY＝ˆRX＝1845916352×86436＝97573.52（万元）2(1)ˆ()RN...