第二讲间接效用函数与支出函数DVIP免费

第二讲间接效用函数与支出函数•OutlineofToday’sClass•1.间接效用函数•2.罗伊（Royidentity）等式•3.支出最小化问题•4.支出函数•5.希克斯（补偿）需求函数•6.谢泼特（Shephard）引理•7.效用最大化与支出最小化的关系•8.斯卢茨基方程•9.替代效应与收入效应一、定义,maxnxRvpmuxStpxmpxm瓦尔拉斯定律第一节间接效用函数①它是极大化了的效用②它的自变量不是消费计划，而是价格与收入③控制消费者行为，可以间接地控制p、m来实现二、性质（一）v（tp,tm）=v（p,m）(t>0)即它是关于p,m的零次齐次函数0maxmaxtuxuxtpxtmpxm（二）',',,ppvpmvpm时',,vpmvpm即BxpxmBxpxmBB显然maxmaxxBxBuxux故证：记（三）,,,mmvpmvpm时证：记mpxxBBxpxmmaxmax,,xBxBBBuxuxvpmvpm显然故即（四）罗伊（Royidentity）等式：如果,0vpmm则,,,jjvpmpxpmvpmm1,,jn证明：①先求分子(1,,)iiupinx又(,)((,))vpmuxpm1niijijxvupxp（最大化一阶条件）1niiijjxvppp同时pxm即1122nnpxpxpxm两边同时对pj偏微分10nijiijxxpp故jjvxp（1）1niiijjxvppp②再求分母(,)((,))vpmuxpm对m求偏微分11()niiiniiixvuxmxmxpmiiupx又pxm两边对m求微分11(2)niiixpmvm由（1）、（2）可得,,,jjvpmpxpmvpmm(1)jjvxp(2)vm例，设1212(,)uxxxx•比较政府征收0.5元的所得税•与0.5元的商品税对消费者效用•的影响。三、应用解：121122maxxxpxpxm的解为*11*2222mxpmxp故**1212212(,,)4vppmxxmpp120.25,1,2ppm时*112*224(,,)20.25(0.5,1,2)42121xvppmvx现在假设政府对商品1按0.25元/单位征收消费税，即1p由0.25元变为0.5元从而12(,,)(0.5,1,2)2vppmv政府获得税金总额为*10.250.5,x元如果政府征收同等额度的所得税即120.25,1,1.5ppm则(0.25,1,1.5)2.25v所以(0.25,1,1.5)(0.5,1,2)vv征收所得税比商品税对消费者的影响要小第二节支出函数一、支出最小化问题min(2)()pxMstuxu（一）min(2)()pxMstuxu（二）希克斯（补偿）需求函数（M2）的解x与p，u有关，即是p，u的函数，这一函数称为希克斯需求函数，记为(,)hpu（三）支出函数(,)(,)epuphpu二、支出函数的性质（一）若,pp则(,)(,)epuepu证：(,)(,)epuphpu(,)phpu(,)phpu(,)epu（二）.(,)(,)0etputeput(,)()(,)((,))((,))(,)etputphtputphtputphputepu证：u不变，给定p时，支出最小为ph(p,u)(,)(,)()(,)(,)teputphputphpuetpu价格tp下，支出最小为e(tp,u)(,)(,)etputepu(三)(,)etpu是关于P的凹函数即0,1有''(1),(,)(1)(,)eppuepuepu证：设''(,)(,)((1),)xhpuxhpuxhppu则'((1),)((1))(1)(,)(1)(,)eppuppxpxpxepuepu三.谢泼特（Shephard）引理(,)(1,,)iiehpuinpih为希克斯函数(,)hpu的第i个分量121122(,)(,)(,,)nnnepuphpxphhhphphph证明：两边对pi求偏导1(,)(1,,)njijjiihehpupinpp在最小化的过程中10njjjihppmin(2)()pxMstuxu：L(())pxuxu最小化的一阶条件：iiu(h(p,u))hp成本最小化时:iiiiiLu(x)0u(x)pxxpxn1j1jnj1u(h(p,u))hu(h(p,u))njjjjiiihhppppiu(h(p,u))=up又对任何都成立故10njjjihpp四、效用最大化与支出最小化的关系max()min(1)...