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立体几何中添加辅助线的基本方法VIP免费

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王正林空间几何元素位置关系的计算和证明是高考的必考内容,这类问题的解决常需要添加辅助线.一些同学由于没有掌握添加辅助线的基本方法,因此解题凭感觉、很盲目,甚至以失败而告终.我认为,解答立体几何问题时添加辅助线是有基本规律、基本方法的.下面以线面平行的证明为例作介绍.方法一,面面平行法:即经过已知直线作一个平面,使其与已知平面平行,即可得已知直线与已知平面平行.方法二,线线平行法:即在已知平面内找一条直线,使其与已知直线平行,即可得已知直线与已知平面平行.平面内的这条直线的找法如下:找一条与已知直线和已知平面都相交的直线,过该直线和已知直线作一个平面,这个平面与已知平面的交线就是要找的直线(如图1);也可以分别过已知直线上两点作与已知平面相交的两条平行直线,这两条平行线与已知平面的交点的连线就是要找的直线(如图2).添加辅助线的过程本质上就是在题设图形中完整基本图形(图1、2)的过程,基本ABCD为平行四边形,点M,N分别在棱PA,BD上,且髻一旦盟一一1.求证:MNND2’。”‘{{平交PBC.尸图3解析先考虑第一类方法(面面平行法).方法(1):过MN作平面与平面PBC平行,如图4.①过M作直线MG与PB平行,连结GN,平面MNG就是过直线MN与平面PBC平行的平面.注意到MG一定在点M与直线PB确定的平面PAB内;②或过N作直线NG与BC平行,连结GM,平面MNG就是过直线MN与平面PBC平行的平面.注意到NG一定在点N与直线BC确定的平面ABCD内;③或在棱BA_I:取tAG,使筹一丢,连结GM,GN,平面MNG就是过MN与平面PBC平行的平面.矽例1在四棱锥P—ABCD中,底面图4■-。’薯●k一图5C万方数据如图5,注意到PA与MN确定的平面为PAG,点P是平面PAG与平面PBC的一个公共点,平面PAG,平面PBC与平面ABCD的交线分别为AG,BC,它们的交点为G,点G就是平面PAG与平面PBC的又一个公共点,PG就是要找的平面PBC内与已知直线MN平行的直线.方法(3):考虑到直线BD是与直线MN,平面PBC都相交的直线,应用基本图形1添加辅助线.如图6,注意到BD与MN确定的平面为DMN,点B是平面DMN与平面PBC的一个公共点,平面DMN,平面PBC与平面PAD的交线分别为DM,PG(过点P与直线BC平行的直线),它们的交点为G,点G就是平面DMN与平面PBC的又一个公共点,BG就是要找的平面PBC内与已知直线MN平行的直线.尸图6图7方法(4):考虑到直线AB或直线DC是与平面PBC相交的直线,应用基本图形2添加辅助线.如图7,在平面PAB内过点M作MM,∥AB,交PB于点M。,在平面ABCD内过点N作NN,∥AB,交BC于点N,,连结M。N。,直线M。N。就是要找的平面PBC内与已知直线MN平行的直线.,例2已知四边形ABCD为平行四边形,BC-L平面ABE,F为CE的中点.求证:线,显然,平行线在点E与直线BF所确定的平面BCE内.)如图8,在平面BCE内,延长CB到G,使BG=CB,连结GE,GA..D图8因为F为CE的中点,所以GE’∥BF.显然,BFC平面BDFiGEC平面BDF,所以GE∥平面BDF.因为四边形ABCD为平行四边形,所以AD}}BC。AD=BC,氍以AD}}BG,AD—BG,所以四边形AGBD为平行四边形,所以GA}fBD.显然,BDC平面BDF,GAe平面BDF,C所以GA∥平面BDF.显然,GE,GAC平面AEG,且GEnGA—G,所以平面AEG∥平面BDF.显然,AEc平面AEG,所以AE∥平面BDF.点评方法(1)也相当于过点A作直线BD的平行线,读者不妨一试.方法(2):(过点E作直线DF的平行线,显然,平行线在点E与直线DF所确定的平面CDE内.)如图9,在平面ABE内,过点E作EG∥AB,取EG—AB,连结DG.因为四边形ABCD为平行四边形,所以DC?}AB,DC—AB,瓢以DC}}EG,DC一,。l◆砌p伽UⅢ倪钞师ira删t:Lbaminatio挖l_-,_万方数据图9因为F为CE的中点,所以KE//DF,所以KE//平面BDF.还有KF∥AB,KF—AB,所以四边形ABFK为平行四边形,所以KA∥BF,所以KA∥平面BDF.显然,KE,KAc平面AEK,且KEnKA=K,所以平面AEK∥平面BDF.显然,AEc平面AEK,所以AE//平面BDF.点评方法(2)也相当于过点A作直线BF的平行线.再考虑第二类方法(线线平行法).考虑过点A与平面BDF相交的直线有:AB,AD,AC,考虑过点E与平面BDF相交的直线有:EB,ED,EC.直线AE与直线AB,EB分别确定同一个平面ABE,直线AE与...

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