立体几何中添加辅助线的基本方法VIP专享VIP免费

王正林空间几何元素位置关系的计算和证明是高考的必考内容，这类问题的解决常需要添加辅助线．一些同学由于没有掌握添加辅助线的基本方法，因此解题凭感觉、很盲目，甚至以失败而告终．我认为，解答立体几何问题时添加辅助线是有基本规律、基本方法的．下面以线面平行的证明为例作介绍．方法一，面面平行法：即经过已知直线作一个平面，使其与已知平面平行，即可得已知直线与已知平面平行．方法二，线线平行法：即在已知平面内找一条直线，使其与已知直线平行，即可得已知直线与已知平面平行．平面内的这条直线的找法如下：找一条与已知直线和已知平面都相交的直线，过该直线和已知直线作一个平面，这个平面与已知平面的交线就是要找的直线(如图1)；也可以分别过已知直线上两点作与已知平面相交的两条平行直线，这两条平行线与已知平面的交点的连线就是要找的直线(如图2)．添加辅助线的过程本质上就是在题设图形中完整基本图形(图1、2)的过程，基本ABCD为平行四边形，点M，N分别在棱PA，BD上，且髻一旦盟一一1．求证：MNND2’。”‘{{平交PBC．尸图3解析先考虑第一类方法(面面平行法)．方法(1)：过MN作平面与平面PBC平行，如图4．①过M作直线MG与PB平行，连结GN，平面MNG就是过直线MN与平面PBC平行的平面．注意到MG一定在点M与直线PB确定的平面PAB内；②或过N作直线NG与BC平行，连结GM，平面MNG就是过直线MN与平面PBC平行的平面．注意到NG一定在点N与直线BC确定的平面ABCD内；③或在棱BA_I：取tAG，使筹一丢，连结GM，GN，平面MNG就是过MN与平面PBC平行的平面．矽例1在四棱锥P—ABCD中，底面图4■-。’薯●k一图5C万方数据如图5，注意到PA与MN确定的平面为PAG，点P是平面PAG与平面PBC的一个公共点，平面PAG，平面PBC与平面ABCD的交线分别为AG，BC，它们的交点为G，点G就是平面PAG与平面PBC的又一个公共点，PG就是要找的平面PBC内与已知直线MN平行的直线．方法(3)：考虑到直线BD是与直线MN，平面PBC都相交的直线，应用基本图形1添加辅助线．如图6，注意到BD与MN确定的平面为DMN，点B是平面DMN与平面PBC的一个公共点，平面DMN，平面PBC与平面PAD的交线分别为DM，PG(过点P与直线BC平行的直线)，它们的交点为G，点G就是平面DMN与平面PBC的又一个公共点，BG就是要找的平面PBC内与已知直线MN平行的直线．尸图6图7方法(4)：考虑到直线AB或直线DC是与平面PBC相交的直线，应用基本图形2添加辅助线．如图7，在平面PAB内过点M作MM，∥AB，交PB于点M。，在平面ABCD内过点N作NN，∥AB，交BC于点N，，连结M。N。，直线M。N。就是要找的平面PBC内与已知直线MN平行的直线．，例2已知四边形ABCD为平行四边形，BC-L平面ABE，F为CE的中点．求证：线，显然，平行线在点E与直线BF所确定的平面BCE内．)如图8，在平面BCE内，延长CB到G，使BG=CB，连结GE，GA．．D图8因为F为CE的中点，所以GE’∥BF．显然，BFC平面BDFiGEC平面BDF，所以GE∥平面BDF．因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD}}BC。AD=BC，氍以AD}}BG，AD—BG，所以四边形AGBD为平行四边形，所以GA}fBD．显然，BDC平面BDF，GAe平面BDF，C所以GA∥平面BDF．显然，GE，GAC平面AEG，且GEnGA—G，所以平面AEG∥平面BDF．显然，AEc平面AEG，所以AE∥平面BDF．点评方法(1)也相当于过点A作直线BD的平行线，读者不妨一试．方法(2)：(过点E作直线DF的平行线，显然，平行线在点E与直线DF所确定的平面CDE内．)如图9，在平面ABE内，过点E作EG∥AB，取EG—AB，连结DG．因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC?}AB，DC—AB，瓢以DC}}EG，DC一，。l◆砌p伽UⅢ倪钞师ira删t：Lbaminatio挖l_-，_万方数据图9因为F为CE的中点，所以KE／／DF，所以KE／／平面BDF．还有KF∥AB，KF—AB，所以四边形ABFK为平行四边形，所以KA∥BF，所以KA∥平面BDF．显然，KE，KAc平面AEK，且KEnKA=K，所以平面AEK∥平面BDF．显然，AEc平面AEK，所以AE／／平面BDF．点评方法(2)也相当于过点A作直线BF的平行线．再考虑第二类方法(线线平行法)．考虑过点A与平面BDF相交的直线有：AB，AD，AC，考虑过点E与平面BDF相交的直线有：EB，ED，EC．直线AE与直线AB，EB分别确定同一个平面ABE，直线AE与...