衡阳市八中2015届高三第二次月考试题数学（理）命题：彭学军曾小权审题：周德平注意事项：请本卷共21道小题，满分150分，时间120分钟。一、选择题（每小题5分，共10小题，满分50分）1．设集合，,则（D）A.B.C.D.2.“”是“”的（B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.已知,则(B)A．B．C．D．4.已知函数,则下列结论正确的是(C)A．是偶函数B.是增函数C．的值域为[－1，＋∞)D.是周期函数5.已知命题，命题:.下面结论正确的是（D）A．命题“”是真命题B.命题“”是假命题C．命题“”是真命题D．命题“”是假命题6.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（D)A．B.C．D．7.已知函数的定义域为,值域为，则的值不可能是(A)A.B.C.D.8.若函数的图象如图所示，则等于（B）A．B.C．D．9．已知定义在R上的奇函数xf和偶函数xg满足2xxaaxgxf1,0aa且，若，则（B）A．2B.C．D．2a10.已知方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(B)A.B.C.D.二、选择题（每小题5分，共7小题，满分35分）11..[答案]12.已知幂函数在处有定义，则实数.答案：213．曲线在点处的切线的斜率为.答案：1214．若函数在内有极小值，则实数的取值范围是.答案：15.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，),1()(xexfx给出以下命题：①当x0时，)1()(xexfx；②函数)(xf有五个零点；③若关于x的方程mxf)(有解，则实数m的取值范围是)2()2(fmf；④1221,,()()2xxRfxfx恒成立.其中，正确命题的序号是.【答案】①④.[来源:]由图可知，若关于x的方程mxf)(有解，则11m，且对1221,,()()2xxRfxfx恒成立.三、解答题（本大题共6小题,满分75分）16、(本题满分12分)设是单位圆和轴正半轴的交点，，是单位圆上两点，O是坐标原点，且，,,0,AOQ.（1）若点的坐标是其中，求的值.（2）设,函数，求f的值域．解：（1）由，.…..3分所以=.…..6分（2）由已知有,…..8分因为[0,)，则，所以.故f的值域是.…..12分17、(本题满分12分)已知函数满足，对任意都有，且．（1）求函数的解析式.（2）是否存在实数，使函数在上为减函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．∴图像的对称轴为直线，则，∴……………2分18、(本题满分12分)如图，已知在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱）中，，，．（1）求证：平面.（2）求与平面所成的角的的正弦值．解法一：（1）设是的中点，连结，则四边形为正方形，．故，，，，即．………..2分又，……..3分平面，…….5分（2）由（1）知平面，又平面，，取的中点,连结，又，则．取的中点，连结，则,.平面，则过向平面引垂线,垂足必落在上为直线与平面所成的角……8分连结，在中，，，取的中点，连结，，在中，，，．………..10分．与平面所成的角的的正弦值为．………..12分解法二：（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，EBCDA1A1D1C1BFMH,.…..2分,…..3分又因为所以，平面.………..5分（2）设为平面的一个法向量．由，，得取，则．……….8分又…….9分设与平面所成的角为，则,即与平面所成的角的的正弦值．………..12分19、(本题满分13分)如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇。假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是，用（单位：）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：）表示此人将船停在海岸处距点的距离。（1）请将表示为的函数.（2）将船停在海岸处距点多远时从小岛到城镇所花时间最短？最短时间是多少?解：（1）………5分（2）………7分,令得.………9分当时,,单调递减;当时,,单调递增.……11分故当时,最小,且最短时间为.………13分20、(本题满分13分)（1）用导数证明:若,则.（2）若对恒成立，求的最大值与的最小值．解：（1）设f(x)=x-sinx，g(x)=tanx-x，x∈(0，π/2)f'(x)=1-cosx>0g'(x)=(1/cos²x)-1>0由于f(x)和g(x)在(0，π/2)上都是单调递增函数所以f(x)>f(0)=0，g(x)>g(0)=0==>x-sinx>0，tanx-x>0=>x>sinx，tanx>x∴sinx
