《高等数学》(北大第二版 )5-3空间中平面及直线的方程VIP免费

上页下页铃结束返回首页①1.平面的方程),,(000zyxP设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxA称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,),,(zyxP任取点法向量.量,),,(CBAnnPP000nPP则有故的为平面称n5-3空间中平面与直线的方程zyxo0PnP上页下页铃结束返回首页0DzCyBxA平面的点法式方程（1）可以化成.标分向量是法向量向量的三个坐依次，，的系数是常数，其中CBA,,CzByAx000zyxD例1已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：,0)1(4)1(3)1(2zyx即.09432zyx上页下页铃结束返回首页kji补例求过三点,1M又)1,9,14(即1M2M3M解取该平面的法向量为的平面的方程.利用点法式得平面的方程346231nn3121MMMM上页下页铃结束返回首页例2已知一平面的方程为0DzCyBxA解于是).0(222CBA平面的一般方程由于平面的点法式方程是xyz的一次方程而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定所以任一平面都可以用三元一次方程来表示反过来可可可可任一三元一次方程AxByCzD0的图形总是一个平面方程AxByCzD0可为平面的一般方程可可可可可可n(ABC)例如方程3x4yz90表示一个平面n(341)是这平面的一个法线向量上页下页铃结束返回首页例3将平面的一般式方程3x+4y+6z=1化成点法式方程.解先在平面上任意选定一点，比如（-3，1，1）.则有.0)1(6)1(4)3(3zyx).6,4,3(n这里法向量的坐标为平面的三点式方程1112121213131310.xxyyzzxxyyzzxxyyzz已知不在同一直线上的三点111122223333,,,,,,,,,PxyzPxyzPxyz13PP�12PP�与不共线,即12130,PPPP�以作为所求平面的法向量.1213PPPP�设是平面上任一点,显然垂直于,,Pxyz1PP�1213PPPP�112130.PPPPPP�此混合积的坐标形式为:上页下页铃结束返回首页例4设已知三点），，，（及101)0,1,1(),1,0,0(321PPP求过该三点的平面方程.解所求的平面方程是.0001111100zyx.01zy即：上页下页铃结束返回首页特殊情形•当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;•当A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x轴;•Ax+Cz+D=0表示•Ax+By+D=0表示•Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•By+D=0表示0DCzByAx)0(222CBA平行于y轴的平面;平行于z轴的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.,),,0(iCBn上页下页铃结束返回首页解:因平面通过x轴,0DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点)1,3,4(得化简,得所求平面方程补例求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.上页下页铃结束返回首页平面的截距式方程0DCzByAx).0,0,0(CBA轴上的截距：求平面在x,,0ADxzy解得令同理求得轴上的截距分别为：轴和平面在zy，BD.DC,0D若平面的截距式方程为.1CDzBDyADx例6x+2y+z-1=0表示的平面在x,y,z轴的截距分别是.1,21,1该平面在第一卦限内的部分如图.2111xyzo两平面的夹角设平面1和2的法线向量分别为n1(A1B1C1)n2(A2B2C2)那么平面1和2的夹角应满足2222222121212121212^1|||),cos(|cosCBACBACCBBAAnn两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20互相垂直的充要条件是A1A2B1B2C1C20两平面垂直的条件两平面平行的条件平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20互相平行的充要条件是A1A2B1B2C1C2平面A1xB1yC1zD10可A2xB2yC2zD20可可可可可222222212121212121||cosCBACBACCBBAA上页下页铃结束返回首页例8试决定常数与使得平面lk1kzlyx).32,1,1(8垂直，且过点与平面zyx解两平面垂直要求其向量垂直，即有.01kl上，则要求）在平面，，点（13211kzlyx....