压轴题目突破练——函数与导数A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是________.答案3x＋y＋2＝0解析设切点的坐标为(x0，x＋3x－1)，则由切线与直线2x－6y＋1＝0垂直，可得切线的斜率为－3，又f′(x)＝3x2＋6x，故3x＋6x0＝－3，解得x0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，从而得切线的方程为3x＋y＋2＝0.2.设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a”或“＝”)答案>解析 f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0，∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，∴当af(a)－g(a)，∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a).3.三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________.答案m<0解析f′(x)＝3mx2－1，依题可得m<0.4.点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是________.答案(1＋ln2)解析将直线4x＋4y＋1＝0平移后得直线l：4x＋4y＋b＝0，使直线l与曲线切于点P(x0，y0)，由x2－y－2ln＝0得y′＝2x－，∴直线l的斜率k＝2x0－＝－1⇒x0＝或x0＝－1(舍去)，∴P，所求的最短距离即为点P到直线4x＋4y＋1＝0的距离d＝＝(1＋ln2).5.设函数f(x)＝x3＋·x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是________.答案[，2]解析 f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin. θ∈，∴θ＋∈，∴sin∈.∴f′(1)∈[，2].6.已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则f(－4)，f()，f(－)的大小关系为_______(用“<”连接).答案f()0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当20).∴f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.由已知，得6a＝12，∴a＝2，∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R).(2)方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10).当x∈时，h′(x)<0，h(x)是减函数；当x∈时，h′(x)>0，h(x)是增函数. h(3)＝1>0，h＝－<0，h(4)＝5>0，∴方程h(x)＝0在区间，内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，∴存在唯一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两...
