第7章第6节VIP专享VIP免费

第七章第六节1．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数解析：选B至少有一个的否定是一个也没有，即a，b，c都不是偶数.2．在△ABC中，sinAsinC＜cosAcosC，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选C由sinAsinC＜cosAcosC得，cosAcosC－sinAsinC＞0，即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是锐角，从而B＞，故△ABC必是钝角三角形.3．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做恒和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是恒和数列，且a1＝2，公和为5，这个数列的前n项和为Sn，则S21的值为()A．42B．52C．53D．63解析：选B由恒和数列的定义，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)．所以S21＝3×10＋2×11＝52.4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是()A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0解析：选C＜a⇔b2－ac＜3a2⇔(a＋c)2－ac＜3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇔－2a2＋ac＋c2＜0⇔2a2－ac－c2＞0⇔(a－c)(2a＋c)＞0⇔(a－c)(a－b)＞0.故选C.5．若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C由已知得①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，所以③不正确．故选C.6．“a＝”是“对任意正数x，均有x＋≥1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若a＝时，则x＋＝x＋≥2＝1，当且仅当x＝，即x＝时等号成立；反之由x＋≥2≥1得a≥.故“a＝”是“对任意正数x，均有x＋≥1”的充分不必要条件．故选A.7．(2014·海口调研)设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．解析：a＜b将a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，由＜知a2＜b2，从而a＜b.8．如果a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是______．解析：a≥0，b≥0且a≠ba＋b＞a＋b，即(－)2(＋)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.9．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，则三边a，b，c应满足________．解析：b2＋c2＜a2由余弦定理，得cosA＝＜0，所以b2＋c2－a2＜0，故b2＋c2＜a2.10．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)解析：③对于①若a＝，b＝，则a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；对②若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；对④若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；对⑤若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，用反证法，假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.11．已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.证明： m＞0，∴1＋m＞0，∴要证2≤，即证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，又(a－b)2≥0显然成立，∴2≤.12．(2014·青岛质检)已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足＝，函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减．(1)求证：b＋c＝2a；(2)若f＝cosA，求证：△ABC为等边三角形．证明：(1) ＝.∴sinBcosA＋sinCcosA＝2sinA－cosBsinA－cosCsinA，∴sinBcosA＋cosBsinA＋sinCcosA＋cosCsinA＝2sinA，∴sin(A＋B)＋sin(A＋C)＝2sinA，∴sinC＋sinB＝2sinA，由正弦定理得b＋c＝2a.(2)由题意知＝，解得ω＝， f＝sin＝＝cosA，A∈(0，π)，∴A＝.由余弦定理知cosA＝＝，∴b2＋c2－a2＝bc， b＋c＝2a，∴b2＋c2－2＝bc，整理得b2＋c2－2bc＝0，∴b＝c，∴△ABC为等边三角形.1．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的...