直线的截距问题探讨[关键字]高中|数学|平面解析几何|截距[内容摘要]每年全国各地高考试卷中,都有不少习题与直线的截距有关，学生在解决这些问题时错误率较高，失误多.笔者就高中新教材必修2——平面解析几何知识中的相关知识进行阐述，对有关直线截距的相关知识复习,仅以一个课时(45分钟)为实例进行研究、探讨.一、基础知识复习1.定义：我们将直线在y轴上的交点的纵坐标称为直线在y轴上的截距.特别地,若直线经过坐标原点,则该直线在x、y轴上的截距均为零.2.应用:运用直线的截距求直线方程时,会简化运算;可以解决直线与圆的位置关系等问题.3.注意点:截距并不表示距离,它可以为正,可以为零,也可以为负.二、典型例题分析[例1]求经过点A（3，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程.[学生练习]学生甲：设直线方程为2-2=(-3),=0,=2-3;=0,=3-,ykxxykyxk令得令得于是22233,,1,3kkkk解得或因此，所求直线方程为230,50xyxy或学生乙：设直线方程为1,xyaa将点A（3，2）代入，得a=5,即所求直线方程为x+y-5=0.学生丙：若截距均为0，则设直线方程为y=kx,将点A（3，2）代入，得直线方程为2x-3y=0;若截距不为0，则可设直线方程为1,xyaa将点A（3，2）代入，得直线方程为x+y-5=0.[教师点评]对于学生甲，应对直线的斜率k进行讨论，解题不严密。学生乙出现了漏解，原因在于：直线的截距并不表示距离，截距可以为零，也可以为负值，应对截距的不同情形进行讨论，因此学生丙的解法是正确的。[变型题1]求过点A（2，-3），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程。仿上解法可求得直线方程为x-y-5=0,或3x+2y=0.[变型题2]求过点A（3，2），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程。仿上解法可求得直线方程为x+y-5=0,或x-y-1=0.或2x-3y=0.[例2]求与圆222xy相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.[分析]这个问题不能直接设截距式方程求解,也要对截距为零的情形加以讨论.[解]若截距为0,直线通过原点,此时直线与圆相交,故截距不为0.设直线方程为1,xyaa由圆心到直线的距离公式,得2,22aa解得.故所求直线方程为2020xyxy或.[变型题1]求与圆22(1)(1)2xy相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.[分析]由于坐标原点在圆上,所以当直线的截距为零时,满足题意的直线有一条.另一方面,当直线的截距不为零时,应有两条.故此问题的解答估计有三条直线符合题意.[略解]若截距为0,利用圆心到直线的距离等于半径可以求出直线方程为0,xy若截距不为0.设直线方程为1,xyaa由圆心到直线的距离公式,得22,04,2aaaa解得或其中=0舍去.故所求直线方程为040xyxy或[答]所求直线方程为040xyxy或.[说明]此道题很特别，截距不为零时，刚好有一解为零.所以此道题最后仅有两解.[变型题2]求与圆22(2)(2)2xy相切,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.[分析]由于坐标原点在圆外,所以当直线的截距为零时,满足题意的直线有两条.另一方面,当直线的截距不为零时,有两条.故此问题的解答有四条直线符合题意.[答]所求直线方程为6020(23)0(23)0xyxyxyxy或或或.[变型题3]求与圆22(1)(2)5xy相切,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.[分析]由于坐标原点在圆上,所以当直线的截距为零时,满足题意的直线有一条.另一方面,当直线的截距不为零时,应有两条.故此问题的解答估计有三条直线符合题意.[答]所求直线方程为203100xyxy或[说明]注意此题与[变型题1]的比较.[变型题4]求与圆22(3)(2)5xy相切,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.[分析]由于坐标原点在圆外,所以当直线的截距为零时,满足题意的直线有两条.另一方面,当直线的截距不为零时,有两条.故此问题的解答有四条直线符合题意.[答]所求直线方程为(6210)05100xyxy或三、课堂小结本节课我们主要对直线的截距问题作了简要的介绍,请注意它们的用法,解题时特别注意截距为零或负值的情形.这里要挖掘的东西还很多,由于时间关系,我们将在今后的复习过程中一一叙述.
