函数的极限及函数的连续性一、重点难点分析：①此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。②要掌握常见的几种函数式变形求极限。③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。二、典型例题例1．求下列极限①②③④解析：①。②。③。④。例2．已知，求m,n。解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，∴x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴m=3代入求得n=-1。例3．讨论函数的连续性。解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又，∴，∴f(x)在x=1处连续。由，从而f(x)在点x=-1处不连续。∴f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。例4．已知函数,(a,b为常数)。试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。解析：∵且，∴，∴a=1,b=0。例5．求下列函数极限①②解析：①。②。例6．设，问常数k为何值时，有存在？解析：∵，。要使存在，只需，∴2k=1，故时，存在。例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？解析：由，，∵，∴f(x)在x=-1处极限不存在。三、训练题：1．已知，则2．的值是_______。3.已知，则=______。4．已知，2a+b=0，求a与b的值。5．已知，求a的值。参考答案：1.32.3.4.a=2,b=-45.a=0
