高一数学第五讲平面向量（1）一、基础知识：1．向量的运算：加法：设则减法：设则实数与向量的积：向量与的关系；设则向量的数量积：是与的夹角）；设则2．向量的关系：①不等关系：（注意等号的条件）②设则3．平面向量的基本定理：如果是同一平面内的不共线向量，那么对于这个平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。相关结论：如果是同一平面内的不共线向量，且，则点O、A、B、C在同一平面内，A、B、C共线的充要条件是：4．常用公式：中，M为BC边的中点，G为重心，则二、综合应用：例1：求证：三角形的三条中线交于一点。用心爱心专心FHMDCBA例2：设外心为O，取点M，使，求证M是的垂心，且此三角形的外心、垂心、重心在一条直线上。例3：在三角形ABC中，点M分所成的比为2，点N分所成的比为，设线段CM和BN交于点P，直线AP和BC的交点为Q，且，用表示例4：已知O为内一点，，设且，试用表示。例5：（1）已知三个顶点A、B、C及平面内一点P，若，则点P在（）A内部B外部C在直线AB上D在直线AC上（2）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心（3）在四边形ABCD中，设，，，，若，则该四边形一定是（）A矩形B正方形C菱形D等腰梯形三、强化训练：1．已知A、B、C三点在同一直线上，O在直线外，，，，且存在实数，使成立，求点C分所成的比及的值。2．若P分有向线段所成的比为，则有。3．已知，当为何值时：（1）与平行？平行时是否同向？（2）与垂直？4．如图，在平行四边形ABCD中,,设以为基底表示5．设O为内一点，且满足，求6．中，M是AB的中点，E是CM的中点，延长AE交BC于F，作MH∥AF，求证：BH=HF=FC。用心爱心专心60yxoABCO7．如图，在平面斜坐标系，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴y轴同方向的单位向量，则p点斜坐标为.若p点斜坐标为（2，－2），求p到O的距离|PO|；8．已知向量的对应关系用表示。（1）证明：对任意向量及常数，恒有成立；（2）设，求向量的坐标。（3）求使为常数)的向量的坐标。参考答案：例1：略例2：三点共线。说明：外心为O，取点M，使成立的充要条件是M为的垂心例3：例4：如图建立直角坐标系：设例5：（1）D（2）B（3）A强化练习：1．用心爱心专心2．略3．（1）反向（2）4．5．36．7．（2）（3）用心爱心专心
