第8课时等差数列的前n项和（3）VIP免费

听课随笔第8课时等差数列的前n项和（3）【学习导航】知识网络学习要求1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3．利用等差数列解决相关的实际问题。【自学评价】等差数列的性质：1．当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的常数项为0的二次函数.2．若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。3．当时,则有，特别地，当时，则有4．在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列是等差数列．5．若、是等差数列，，…也成等差数列6．在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。7．若等差数列、的前和分别为、，且，则.8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.【精典范例】【例1】某剧场有２０排座位，后一排比前一排多２个座位，最后一排有６０个座位，这个剧场共有多少个座位？【解】这个剧场各排的座位数组成等差数列，其中公差ｄ＝２，项数ｎ＝２０，且第２０项是ａ２０＝６０由等差数列的通项公式，得所以由等差数列的求和公式，得答这个剧场共有820个座位.【例2】某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径４０ｍｍ，满盘时直径１２０ｍｍ已知卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到１ｍ）？【解】卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和．由内向外各圈的半径分别为20.05，20.15，…，59.95．因此，各圈的周长分别为因为各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为ｎ，则59.95＝20.05＋（ｎ－１）×0.1，所以ｎ＝４００．显然，各圈的周长组成一个首项为４０．１π，公差为０．２π，项数为４００的等差数列．根据等差数列的求和公式，得答满盘时卫生纸的长度约为１００ｍ．【例3】）教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育听课随笔储蓄的对象为在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取３年期教育储蓄的月利率为2.1‰．（１）欲在３年后一次支取本息合计２万元，每月大约存入多少元？（２）零存整取３年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时３年后本息合计约为多少？（精确到１元）【解】（１）设每月存Ａ元，则有Ａ（１＋2.1‰）＋Ａ（１＋２×2.1‰）＋…＋Ａ（１＋３６×2.1‰）=20000利用等差数列求和公式，得解得A≈535(元)（２）由于教育储蓄的存款总额不超过２万元，所以３年期教育储蓄每月至多可存入≈５５５（元）．这样，３年后的本息和为答欲在３年后一次支取本息２万元，每月大约存入535元．３年期教育储蓄每月至多存入555元，３年后本息合计约20756元．追踪训练一1.已知an=(n∈N*),则数列{an}的最大项是（C）A．第12项B．第13项C．第12项或第13项D．不存在2.已知等差数列｛ａｎ｝满足ａ１＋ａ２＋…＋ａ１０１＝０，则有（Ｃ）．Ａ．＞０Ｂ．＜０Ｃ．＝０Ｄ．3.已知一个凸多边形的内角度数组成公差为５°的等差数列，且最小角为１２０°，问它是几边形．【答案】9边形4．某钢材库新到２００根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛（如图），并使剩余的圆钢尽可能地少，那么将剩余多少根圆钢？【答案】将剩余10根圆钢5．时钟在１点钟的时候敲一下，在２点钟的时候敲２下……在１２点钟的时候敲１２下，中间每半点钟也敲一下．一昼夜内它一共敲多少下？【答案】一昼夜内它一共敲180下【选修延伸】【例4】已知数列的通项公式为＝，求它的前项和．分析：我们先看通项＝，然后将其分裂成，再求和．【解】 =∴=点评:如果数列的通项公式可转化为形式，常采用裂项求和的方法．特别地，当数列形如，其中是等差数列，可尝试采用此法．常用裂项技巧如：，等．【例5】已知数列满足，，求.【解】由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，听课随笔追踪训练二1．在等...