北师大版高中数学必修5等差数列的前n项和3VIP免费

等差数列的前n项和【考点透视】一、考纲指要1．理解等差数列的概念;2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.二、命题落点1．考查等差数列的概念、通项公式，即等差数列性质的灵活运用；如例1，例2；2．考查等差数列的前n项和公式及其性质.如例3.【典例精析】例1：（2005•湖南）已知数列))}1({log*2Nnan为等差数列，且.9,331aa（1）求数列}{na的通项公式；（2）证明.111112312nnaaaaaa解析：（1）设等差数列)}1({log2na的公差为D．由,8log2log)2(log29,322231daa得即d=1.所以,)1(1)1(log2nnan即.12nna（2）因为nnnnnaaa2121111，所以nnnaaaaaa2121212111132112312.1211211212121nn例2：(2005•江苏）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且1(58)(52),1,2,3,nnnSnSAnBn…，其中A,B为常数.（1）求A与B的值；（2）证明数列{an}为等差数列；用心爱心专心（3）证明不等式51mnmnaaa对任何正整数m、n都成立.解析：（1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18.由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B知.482.28,2122,732312BABABASSBASS即解得A=-20，B=-8。（2）由（1）得，（5n-8）Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,①所以(5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28,②②-①,得,(5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20,③所以(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.④④-③,得(5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0.因为an+1=Sn+1-Sn所以(5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0.又因为(5n+2)0,所以an+3-2an+2+an+1=0,即an+3-an+2=an+2-an+1,1n.又a3-a2=a2-a1=5,所以数列}{na为等差数列．（3）由（２）可知，an=1+5(n-1)=5n-4.要证了,15nmmnaaa只要证5amn>1+aman+2nmaa，因为amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证5（5mn-4）>1+25mn-20(m+n)+16+2,nmaa因为)291515(8558552nmnmnmaaaanmnm=20m+20n-37,所以命题得证.例3：（2005•上海）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？用心爱心专心（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？解析：（1）设中低价房面积形成数列na，由题意可知na是等差数列，其中a1=250，d=50，则,22525502)1(2502nnnnnSn令,4750225252nn即.10,,019092nnnn是正整数而∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400，q=1.08，则bn=400·(1.08)n－1由题意可知nnba85.0，有250+(n－1)50>400·(1.08)n－1·0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【常见误区】1．容易把等差数列的项数搞错，导致解题错误；2．不能灵活运用两个求和公式及其相应的性质解题.【基础演练】1．（2006•陕西）"等式sin(α+γ)=sin2β成立"是"α、β、γ成等差数列"的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件2．（2005•山东）{}na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2005na，则序号n等于（）A．667B．668C．669D．6703．(2004•福建)设Sn是等差数列na的前n项和，若5935,95SSaa则（）A．1B．－1C．2D．214．(2004•重庆)若{}na是等差数列，首项120032004200320040,0,.0aaaaa，则使前n项和0nS成立的最大自然数n是（）用心爱心专心A．4005B．4006C．4007D．40085．（2003•上海）设f（x）=221x.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（...